广义线性模型

在此笔记本中，我们将通过一个工作示例来介绍广义线性模型。我们使用两种算法以两种不同的方式解决此示例，以在 TensorFlow Probability 中有效地拟合 GLM：针对密集数据使用 Fisher 得分算法，针对稀疏数据使用坐标近端梯度下降算法。我们将拟合系数与真实系数进行对比，在坐标近端梯度下降算法下则与 R 语言的类似 glmnet 算法的输出进行对比。最后，我们提供了 GLM 一些关键属性的进一步数学细节和推导。

背景

广义线性模型 (GLM) 是一种封装在转换（联系函数）中并配备了指数族的响应分布的线性模型 ($\eta = x^\top \beta$) 。联系函数和响应分布的选择非常灵活，这为 GLM 赋予了出色的表达性。在下面的“GLM 事实的推导”中可以找到完整的详细信息，包括以明确的表示法对 GLM 构建的所有定义和结果的有序介绍。我们总结如下：

在 GLM 中，响应变量 $Y$ 的预测分布与观察到的预测变量 $x$ 的向量相关联。分布形式如下：

$$\begin{align*} p(y , |, x) &= m(y, \phi) \exp\left(\frac{\theta, T(y) - A(\theta)}{\phi}\right) \ \theta &:= h(\eta) \ \eta &:= x^\top \beta \end{align*}$$

其中，$\beta$ 是参数（“权重”），$\phi$ 是表示离散度（“方差”）的超参数，$m$、$h$、$T$、$A$ 由用户指定模型族表征。

$Y$ 的均值取决于 $x$ 的线性响应 $\eta$ 和（逆）联系函数，即：

$$\mu := g^{-1}(\eta)$$

其中 $g$ 是所谓的联系函数。在 TFP 中，联系函数和模型族的选择由 tfp.glm.ExponentialFamily 子类共同指定。示例包括：

• tfp.glm.Normal，又名“线性回归”
• tfp.glm.Bernoulli，又名“逻辑回归”
• tfp.glm.Poisson，又名“泊松回归”
• tfp.glm.BernoulliNormalCDF，又名“概率回归”。

TFP 更喜欢根据 Y 的分布而非联系函数来命名模型族，因为 tfp.Distribution 已经是一等公民。如果 tfp.glm.ExponentialFamily 子类名称包含第二个单词，则表示非正则联系函数。

GLM 具有几项可有效地实现最大似然 estimator 的显著特性。这些特性中最主要的是为对数似然函数 $\ell$ 梯度以及 Fisher 信息矩阵提供了简单的公式，它是在相同预测变量下对响应重新采样时负对数似然函数的 Hessian 的期望值。即：

$$\begin{align*} \nabla_\beta, \ell(\beta, ;, \mathbf{x}, \mathbf{y}) &amp;= \mathbf{x}^\top ,\text{diag}\left(\frac{ {\textbf{Mean}_T}'(\mathbf{x} \beta) }{ {\textbf{Var}<em data-md-type="emphasis">T}(\mathbf{x} \beta) }\right) \left(\mathbf{T}(\mathbf{y}) - {\textbf{Mean}<em data-md-type="emphasis">T}(\mathbf{x} \beta)\right) \ \mathbb{E}</em>{Y_i \sim \text{GLM} | x_i} \left[ \nabla</em>\beta^2, \ell(\beta, ;, \mathbf{x}, \mathbf{Y}) \right] &amp;= -\mathbf{x}^\top ,\text{diag}\left( \frac{ \phi, {\textbf{Mean}_T}'(\mathbf{x} \beta)^2 }{ {\textbf{Var}_T}(\mathbf{x} \beta) }\right), \mathbf{x} \end{align*}$$

其中 $\mathbf{x}$ 是矩阵，其第 $i$ 行是第 $i$ 个数据样本的预测变量向量；$\mathbf{y}$ 是向量，其第 $i$ 个坐标是第 $i$ 个数据样本的观察到的响应。这里（粗略地讲），${\text{Mean}_T}(\eta) := \mathbb{E}[T(Y),|,\eta]$ 和 ${\text{Var}_T}(\eta) := \text{Var}[T(Y),|,\eta]$，粗体表示这些函数的矢量化。有关这些期望和方差的分布的完整详细信息，请参阅下方的“GLM 事实的推导”。

示例

在本部分中，我们将简要介绍和展示 TensorFlow Probability 中的两种内置 GLM 拟合算法：Fisher 得分 (tfp.glm.fit) 和坐标近端梯度下降 (tfp.glm.fit_sparse)。

合成数据集

让我们假装加载一些训练数据集。

import numpy as np
import pandas as pd
import scipy
import tensorflow.compat.v2 as tf
tf.enable_v2_behavior()
import tensorflow_probability as tfp
tfd = tfp.distributions

def make_dataset(n, d, link, scale=1., dtype=np.float32):
  model_coefficients = tfd.Uniform(
      low=-1., high=np.array(1, dtype)).sample(d, seed=42)
  radius = np.sqrt(2.)
  model_coefficients *= radius / tf.linalg.norm(model_coefficients)
  mask = tf.random.shuffle(tf.range(d)) < int(0.5 * d)
  model_coefficients = tf.where(
      mask, model_coefficients, np.array(0., dtype))
  model_matrix = tfd.Normal(
      loc=0., scale=np.array(1, dtype)).sample([n, d], seed=43)
  scale = tf.convert_to_tensor(scale, dtype)
  linear_response = tf.linalg.matvec(model_matrix, model_coefficients)

  if link == 'linear':
    response = tfd.Normal(loc=linear_response, scale=scale).sample(seed=44)
  elif link == 'probit':
    response = tf.cast(
        tfd.Normal(loc=linear_response, scale=scale).sample(seed=44) > 0,
                   dtype)
  elif link == 'logit':
    response = tfd.Bernoulli(logits=linear_response).sample(seed=44)
  else:
    raise ValueError('unrecognized true link: {}'.format(link))
  return model_matrix, response, model_coefficients, mask

注：连接到本地运行时。

在此笔记本中，我们使用本地文件在 Python 和 R 内核之间共享数据。要启用此共享，请在您具备本地文件读写权限的同一台计算机上使用运行时。

x, y, model_coefficients_true, _ = [t.numpy() for t in make_dataset(
    n=int(1e5), d=100, link='probit')]

DATA_DIR = '/tmp/glm_example'
tf.io.gfile.makedirs(DATA_DIR)
with tf.io.gfile.GFile('{}/x.csv'.format(DATA_DIR), 'w') as f:
  np.savetxt(f, x, delimiter=',')
with tf.io.gfile.GFile('{}/y.csv'.format(DATA_DIR), 'w') as f:
  np.savetxt(f, y.astype(np.int32) + 1, delimiter=',', fmt='%d')
with tf.io.gfile.GFile(
    '{}/model_coefficients_true.csv'.format(DATA_DIR), 'w') as f:
  np.savetxt(f, model_coefficients_true, delimiter=',')

不使用 L1 正则化

函数 tfp.glm.fit 实现 Fisher 得分，它采用一些参数：

• model_matrix = $\mathbf{x}$
• response = $\mathbf{y}$
• model = 可调用对象，给定参数 $\boldsymbol{\eta}$，返回三元组 $\left( {\textbf{Mean}_T}(\boldsymbol{\eta}), {\textbf{Var}_T}(\boldsymbol{\eta}), {\textbf{Mean}_T}'(\boldsymbol{\eta}) \right)$。

我们建议该 model 为 tfp.glm.ExponentialFamily 类的实例。有几种预制的实现可用，对于大多数常见的 GLM，不需要自定义代码。

@tf.function(autograph=False)
def fit_model():
  model_coefficients, linear_response, is_converged, num_iter = tfp.glm.fit(
      model_matrix=x, response=y, model=tfp.glm.BernoulliNormalCDF())
  log_likelihood = tfp.glm.BernoulliNormalCDF().log_prob(y, linear_response)
  return (model_coefficients, linear_response, is_converged, num_iter,
          log_likelihood)

[model_coefficients, linear_response, is_converged, num_iter,
 log_likelihood] = [t.numpy() for t in fit_model()]

print(('is_converged: {}\n'
       '    num_iter: {}\n'
       '    accuracy: {}\n'
       '    deviance: {}\n'
       '||w0-w1||_2 / (1+||w0||_2): {}'
      ).format(
    is_converged,
    num_iter,
    np.mean((linear_response > 0.) == y),
    2. * np.mean(log_likelihood),
    np.linalg.norm(model_coefficients_true - model_coefficients, ord=2) /
        (1. + np.linalg.norm(model_coefficients_true, ord=2))
    ))

is_converged: True
    num_iter: 6
    accuracy: 0.75241
    deviance: -0.992436110973
||w0-w1||_2 / (1+||w0||_2): 0.0231555201462

数学细节

Fisher 得分法是对牛顿法的修改，用于寻找最大似然估计

$$\hat\beta := \underset{\beta}{\text{arg max} }\ \ \ell(\beta\ ;\ \mathbf{x}, \mathbf{y}).$$

普通牛顿法，搜索对数似然函数梯度的零点，将遵循更新规则

\beta^{(t+1)}_{\text{Newton} } := \beta^{(t)}

其中 $\alpha \in (0, 1]$ 是用于控制步长的学习率。

在 Fisher 得分法中，我们将 Hessian 替换为负的 Fisher 信息矩阵：

\begin{align*} \beta^{(t+1)} &:= \beta^{(t)}

[注：此处 $\mathbf{Y} = (Y_i)_{i=1}^{n}$ 是随机的，而 $\mathbf{y}$ 仍是观察到的响应的向量。]

通过下文“将 GLM 参数拟合到数据”中的公式，可将其简化为

$$\begin{align*} \beta^{(t+1)} &amp;= \beta^{(t)} + \alpha \left( \mathbf{x}^\top \text{diag}\left( \frac{ \phi, {\textbf{Mean}_T}'(\mathbf{x} \beta^{(t)})^2 }{ {\textbf{Var}_T}(\mathbf{x} \beta^{(t)}) }\right), \mathbf{x} \right)^{-1} \left( \mathbf{x}^\top \text{diag}\left(\frac{ {\textbf{Mean}_T}'(\mathbf{x} \beta^{(t)}) }{ {\textbf{Var}_T}(\mathbf{x} \beta^{(t)}) }\right) \left(\mathbf{T}(\mathbf{y}) - {\textbf{Mean}_T}(\mathbf{x} \beta^{(t)})\right) \right). \end{align*}$$

使用 L1 正则化

tfp.glm.fit_sparse 基于 Yuan, Ho and Lin 2012 中的算法实现了更适合稀疏数据集的 GLM 拟合器。特性包括：

• L1 正则化
• 不使用矩阵求逆
• 只需少量梯度和 Hessian 评估。

我们首先展示代码的示例用法。算法的细节会在下文“tfp.glm.fit_sparse 的算法细节”中进一步阐述。

model = tfp.glm.Bernoulli()
model_coefficients_start = tf.zeros(x.shape[-1], np.float32)
@tf.function(autograph=False)
def fit_model():
  return tfp.glm.fit_sparse(
    model_matrix=tf.convert_to_tensor(x),
    response=tf.convert_to_tensor(y),
    model=model,
    model_coefficients_start=model_coefficients_start,
    l1_regularizer=800.,
    l2_regularizer=None,
    maximum_iterations=10,
    maximum_full_sweeps_per_iteration=10,
    tolerance=1e-6,
    learning_rate=None)

model_coefficients, is_converged, num_iter = [t.numpy() for t in fit_model()]
coefs_comparison = pd.DataFrame({
  'Learned': model_coefficients,
  'True': model_coefficients_true,
})

print(('is_converged: {}\n'
       '    num_iter: {}\n\n'
       'Coefficients:').format(
    is_converged,
    num_iter))
coefs_comparison

is_converged: True
    num_iter: 1

Coefficients:

请注意，学习的系数与真实系数具有相同的稀疏模式。

# Save the learned coefficients to a file.
with tf.io.gfile.GFile('{}/model_coefficients_prox.csv'.format(DATA_DIR), 'w') as f:
  np.savetxt(f, model_coefficients, delimiter=',')

对比 R 语言的 glmnet

我们将坐标近端梯度下降算法的输出与使用类似算法的 R 语言的 glmnet 的输出进行对比。

注：要执行此部分，您必须切换到 R colab 运行时。

suppressMessages({
  library('glmnet')
})

data_dir <- '/tmp/glm_example'
x <- as.matrix(read.csv(paste(data_dir, '/x.csv', sep=''),
                        header=FALSE))
y <- as.matrix(read.csv(paste(data_dir, '/y.csv', sep=''),
                        header=FALSE, colClasses='integer'))

fit <- glmnet(
x = x,
y = y,
family = "binomial",  # Logistic regression
alpha = 1,  # corresponds to l1_weight = 1, l2_weight = 0
standardize = FALSE,
intercept = FALSE,
thresh = 1e-30,
type.logistic = "Newton"
)

write.csv(as.matrix(coef(fit, 0.008)),
          paste(data_dir, '/model_coefficients_glmnet.csv', sep=''),
          row.names=FALSE)

比较 R、TFP 和真实系数（注：回到 Python 内核）

DATA_DIR = '/tmp/glm_example'
with tf.io.gfile.GFile('{}/model_coefficients_glmnet.csv'.format(DATA_DIR),
                       'r') as f:
  model_coefficients_glmnet = np.loadtxt(f,
                                   skiprows=2  # Skip column name and intercept
                               )

with tf.io.gfile.GFile('{}/model_coefficients_prox.csv'.format(DATA_DIR),
                       'r') as f:
  model_coefficients_prox = np.loadtxt(f)

with tf.io.gfile.GFile(
    '{}/model_coefficients_true.csv'.format(DATA_DIR), 'r') as f:
  model_coefficients_true = np.loadtxt(f)

coefs_comparison = pd.DataFrame({
    'TFP': model_coefficients_prox,
    'R': model_coefficients_glmnet,
    'True': model_coefficients_true,
})
coefs_comparison

tfp.glm.fit_sparse 的算法细节

我们将算法依次呈现为对牛顿法的三种修改形式。在每种形式中，$\beta$ 的更新规则都基于向量 $s$ 和矩阵 $H$，它们会逼近对数似然函数的梯度和 Hessian。在步骤 $t$ 中，我们选择坐标 $j^{(t)}$ 进行更改，并根据更新规则更新 $\beta$：

\begin{align} u^{(t)} &:= \frac{ \left( s^{(t)} \right){j^{(t)} } }{ \left( H^{(t)} \right)*{j^{(t)},, j^{(t)} } } [3mm] \beta^{(t+1)} &:= \beta^{(t)}

此更新是一种类似牛顿法的步骤，学习率为 $\alpha$。除了最后一部分（L1 正则化），下面的修改仅在 $s$ 和 $H$ 的更新方式上有所不同。

起点：坐标牛顿法

在坐标牛顿法中，我们将 $s$ 和 $H$ 设置为对数似然函数的真实梯度和 Hessian：

$$\begin{align*} s^{(t)}<em data-md-type="emphasis">{\text{vanilla} } &amp;:= \left( \nabla</em>\beta, \ell(\beta ,;, \mathbf{x}, \mathbf{y}) \right)<em data-md-type="emphasis">{\beta = \beta^{(t)} } \ H^{(t)}</em>{\text{vanilla} } &amp;:= \left( \nabla^2_\beta, \ell(\beta ,;, \mathbf{x}, \mathbf{y}) \right)_{\beta = \beta^{(t)} } \end{align*}$$

只需少量梯度和 Hessian 评估

对数似然函数的梯度和 Hessian 的计算通常十分消耗算力，因此通常值得对其采用逼近算法。我们可以如下处理：

• 通常，将 Hessian 逼近为局部常值，并使用（逼近）Hessian 将梯度逼近为一阶：

$$\begin{align*} H_{\text{approx} }^{(t+1)} &amp;:= H^{(t)} \ s_{\text{approx} }^{(t+1)} &amp;:= s^{(t)} + H^{(t)} \left( \beta^{(t+1)} - \beta^{(t)} \right) \end{align*}$$

• 有时，可执行上述“普通”更新步骤，将 $s^{(t+1)}$ 设置为对数似然函数的精确梯度并将 $H^{(t+1)}$ 设置为其精确 Hessian，在 $\beta^{(t+1)}$ 处评估。

使用负 Fisher 信息矩阵代替 Hessian

为了进一步降低普通更新步骤的算力成本，我们可以将 $H$ 设置为负 Fisher 信息矩阵（使用下文“将 GLM 参数拟合到数据”中的公式可以有效计算），而非确切的 Hessian：

$$\begin{align*} H_{\text{Fisher} }^{(t+1)} &amp;:= \mathbb{E}<em data-md-type="emphasis">{Y_i \sim p</em>{\text{OEF}(m, T)}(\cdot | \theta = h(x_i^\top \beta^{(t+1)}), \phi)} \left[ \left( \nabla_\beta^2, \ell(\beta, ;, \mathbf{x}, \mathbf{Y}) \right)_{\beta = \beta^{(t+1)} } \right] \ &amp;= -\mathbf{x}^\top ,\text{diag}\left( \frac{ \phi, {\textbf{Mean}<em data-md-type="emphasis">T}'(\mathbf{x} \beta^{(t+1)})^2 }{ {\textbf{Var}<em data-md-type="emphasis">T}(\mathbf{x} \beta^{(t+1)}) }\right), \mathbf{x} \ s</em>{\text{Fisher} }^{(t+1)} &amp;:= s</em>{\text{vanilla} }^{(t+1)} \ &amp;= \left( \mathbf{x}^\top ,\text{diag}\left(\frac{ {\textbf{Mean}_T}'(\mathbf{x} \beta^{(t+1)}) }{ {\textbf{Var}_T}(\mathbf{x} \beta^{(t+1)}) }\right) \left(\mathbf{T}(\mathbf{y}) - {\textbf{Mean}_T}(\mathbf{x} \beta^{(t+1)})\right) \right) \end{align*}$$

通过近端梯度下降求解 L1 正则化

为包含 L1 正则化，我们将更新规则

\beta^{(t+1)} := \beta^{(t)}

替换为更通用的更新规则

$$\begin{align*} \gamma^{(t)} &amp;:= -\frac{\alpha, r_{\text<l>} }{\left(H^{(t)}\right)<em>{j^{(t)},, j^{(t)} } } \[2mm] \left(\beta</em>{\text{reg} }^{(t+1)}\right)_j &amp;:= \begin{cases} \beta^{(t+1)}_j &amp;\text{if } j \neq j^{(t)} \ \text{SoftThreshold} \left( \beta^{(t)}_j - \alpha, u^{(t)} ,\ \gamma^{(t)} \right) &amp;\text{if } j = j^{(t)} \end{cases} \end{align*}$$

其中 $r_{\text<l>} &gt; 0$ 是提供的常值（L1 正则化系数），$\text{SoftThreshold}$ 是软阈值算子，定义为

$$\text{SoftThreshold}(\beta, \gamma) := \begin{cases} \beta + \gamma &amp;\text{if } \beta &lt; -\gamma \ 0 &amp;\text{if } -\gamma \leq \beta \leq \gamma \ \beta - \gamma &amp;\text{if } \beta &gt; \gamma. \end{cases}$$

此更新规则具有以下两项令人欣喜的性质，解释如下：

1. 在极限情况 $r_{\text<l>} \to 0$（即不使用 L1 正则化）下，此更新规则与原始更新规则相同。

2. 此更新规则可以解释为应用邻近算子，其不动点是 L1 正则化最小化问题的解

\underset{\beta - \beta^{(t)} \in \text{span}{ \text{onehot}(j^{(t)}) } }{\text{arg min} } \left( -\ell(\beta ,;, \mathbf{x}, \mathbf{y})

退化情况 $r_{\text<l>} = 0$ 可恢复原始更新规则

要查看 (1)，请注意如果 $r_{\text<l>} = 0$ 则 $\gamma^{(t)} = 0$，因此

$$\begin{align*} \left(\beta_{\text{reg} }^{(t+1)}\right)<em data-md-type="emphasis">{j^{(t)} } &amp;= \text{SoftThreshold} \left( \beta^{(t)}</em>{j^{(t)} } - \alpha, u^{(t)} ,\ 0 \right) \ &amp;= \beta^{(t)}_{j^{(t)} } - \alpha, u^{(t)}. \end{align*}$$

因此

$$\begin{align*} \beta_{\text{reg} }^{(t+1)} &amp;= \beta^{(t)} - \alpha, u^{(t)} ,\text{onehot}(j^{(t)}) \ &amp;= \beta^{(t+1)}. \end{align*}$$

不动点为正则化最大似然估计的邻近算子

要查看 (2)，首先要注意（参见 Wikipedia）对于任何 $\gamma &gt; 0$，更新规则

$$\left(\beta_{\text{exact-prox}, \gamma}^{(t+1)}\right)<em data-md-type="emphasis">{j^{(t)} } := \text{prox}</em>{\gamma \lVert \cdot \rVert_1} \left( \beta^{(t)}<em data-md-type="emphasis">{j^{(t)} } + \frac{\gamma}{r</em>{\text<l>} } \left( \left( \nabla_\beta, \ell(\beta ,;, \mathbf{x}, \mathbf{y}) \right)<em>{\beta = \beta^{(t)} } \right)</em>{j^{(t)} } \right)$$

均满足 (2)，其中 $\text{prox}$ 是邻近算子（参见 Yu，其中该算子表示为 $\mathsf{P}$）。上述方程的右半部分在此处计算：

\left(\beta{\text{exact-prox}, \gamma}^{(t+1)}\right){j^{(t)} }

特别地，设置 $\gamma = \gamma^{(t)} = -\frac{\alpha, r_{\text<l>} }{\left(H^{(t)}\right)_{j^{(t)}, j^{(t)} } }$（注：只要负对数似然函数是凸函数，$\gamma^{(t)} 就大于 0$），我们得到更新规则

\left(\beta{\text{exact-prox}, \gamma^{(t)} }^{(t+1)}\right){j^{(t)} }

然后，我们将精确梯度 $\left( \nabla_\beta, \ell(\beta ,;, \mathbf{x}, \mathbf{y}) \right)_{\beta = \beta^{(t)} }$ 替换为其近似值 $s^{(t)}$，得到

\begin{align} \left(\beta_{\text{exact-prox}, \gamma^{(t)} }^{(t+1)}\right){j^{(t)} } &\approx \text{SoftThreshold} \left( \beta^{(t)}{j^{(t)} } - \alpha \frac{ \left(s^{(t)}\right){j^{(t)} } }{ \left(H^{(t)}\right){j^{(t)}, j^{(t)} } } ,\ \gamma^{(t)} \right) \ &= \text{SoftThreshold} \left( \beta^{(t)}_{j^{(t)} } - \alpha, u^{(t)} ,\ \gamma^{(t)} \right). \end{align}

因此

$$\beta_{\text{exact-prox}, \gamma^{(t)} }^{(t+1)} \approx \beta_{\text{reg} }^{(t+1)}.$$

GLM 事实的推导

在本部分中，我们将详细说明并推导出在之前几部分中使用的 GLM 相关结果。然后，我们将使用 TensorFlow 的 gradients 对导出的对数似然函数和 Fisher 信息的梯度公式进行数值验证。

得分和 Fisher 信息

考虑由参数向量 $\theta$ 参数化的概率分布族，其概率密度为 $\left{p(\cdot | \theta)\right}_{\theta \in \mathcal{T} }$。参数向量 $\theta_0$ 处的结果 $y$ 的得分定义为 $y$ 的对数似然函数的梯度（在 $\theta_0$ 处评估），即：

$$\text{score}(y, \theta_0) := \left[\nabla_\theta, \log p(y | \theta)\right]_{\theta=\theta_0}.$$

声明：得分的期望值为零

在非极端正则条件（允许我们传递积分符号内取微分）下，

$$\mathbb{E}_{Y \sim p(\cdot | \theta=\theta_0)}\left[\text{score}(Y, \theta_0)\right] = 0.$$

证明

已知

$$\begin{align*} \mathbb{E}<em data-md-type="emphasis">{Y \sim p(\cdot | \theta=\theta_0)}\left[\text{score}(Y, \theta_0)\right] &amp;:=\mathbb{E}</em>{Y \sim p(\cdot | \theta=\theta_0)}\left[\left(\nabla_\theta \log p(Y|\theta)\right)<em data-md-type="emphasis">{\theta=\theta_0}\right] \ &amp;\stackrel{\text{(1)} }{=} \mathbb{E}</em>{Y \sim p(\cdot | \theta=\theta_0)}\left[\frac{\left(\nabla_\theta p(Y|\theta)\right)<em data-md-type="emphasis">{\theta=\theta_0} }{p(Y|\theta=\theta_0)}\right] \ &amp;\stackrel{\text{(2)} }{=} \int</em>{\mathcal{Y} } \left[\frac{\left(\nabla_\theta p(y|\theta)\right)<em data-md-type="emphasis">{\theta=\theta_0} }{p(y|\theta=\theta_0)}\right] p(y | \theta=\theta_0), dy \ &amp;= \int</em>{\mathcal{Y} } \left(\nabla_\theta p(y|\theta)\right)<em data-md-type="emphasis">{\theta=\theta_0}, dy \ &amp;\stackrel{\text{(3)} }{=} \left[\nabla</em>\theta \left(\int_{\mathcal{Y} } p(y|\theta), dy\right) \right]<em data-md-type="emphasis">{\theta=\theta_0} \ &amp;\stackrel{\text{(4)} }{=} \left[\nabla</em>\theta, 1 \right]_{\theta=\theta_0} \ &amp;= 0, \end{align*}$$

其中我们使用了：(1) 微分连锁律、(2) 期望的定义、(3) 传递积分符号内取微分（使用正则条件）、(4) 概率密度的积分为 1。

声明（Fisher 信息）：得分方差等于对数似然函数的 Hessian 负期望值

在非极端正则条件（允许我们传递积分符号内取微分）下，

\mathbb{E}_{Y \sim p(\cdot | \theta=\theta_0)}\left[ \text{score}(Y, \theta_0) \text{score}(Y, \theta_0)^\top \right]

其中 $\nabla_\theta^2 F$ 表示 Hessian 矩阵，其 $(i, j)$ 项为 $\frac{\partial^2 F}{\partial \theta_i \partial \theta_j}$。

此方程的左半部分称为参数向量 $\theta_0$ 处的族 $\left{p(\cdot | \theta)\right}_{\theta \in \mathcal{T} }$ 的 Fisher 信息。

声明证明

已知

\begin{align} \mathbb{E}{Y \sim p(\cdot | \theta=\theta_0)}\left[ \left(\nabla\theta^2 \log p(Y | \theta)\right){\theta=\theta_0} \right] &\stackrel{\text{(1)} }{=} \mathbb{E}{Y \sim p(\cdot | \theta=\theta0)}\left[ \left(\nabla\theta^\top \frac{ \nabla_\theta p(Y | \theta) }{ p(Y|\theta) }\right){\theta=\theta_0} \right] \ &\stackrel{\text{(2)} }{=} \mathbb{E}*{Y \sim p(\cdot | \theta=\theta0)}\left[ \frac{ \left(\nabla^2\theta p(Y | \theta)\right)_{\theta=\theta_0} }{ p(Y|\theta=\theta_0) }

其中我们使用了 (1) 微分链式法则、(2) 微分商法则、(3)再次反向使用链式法则。

要完成证明，只需证明

$$\mathbb{E}<em data-md-type="emphasis">{Y \sim p(\cdot | \theta=\theta_0)}\left[ \frac{ \left(\nabla^2</em>\theta p(Y | \theta)\right)_{\theta=\theta_0} }{ p(Y|\theta=\theta_0) } \right] \stackrel{\text{?} }{=} 0.$$

为此，我们传递积分符号内取微分两次：

$$\begin{align*} \mathbb{E}<em data-md-type="emphasis">{Y \sim p(\cdot | \theta=\theta_0)}\left[ \frac{ \left(\nabla^2</em>\theta p(Y | \theta)\right)<em data-md-type="emphasis">{\theta=\theta_0} }{ p(Y|\theta=\theta_0) } \right] &amp;= \int</em>{\mathcal{Y} } \left[ \frac{ \left(\nabla^2_\theta p(y | \theta)\right)<em data-md-type="emphasis">{\theta=\theta_0} }{ p(y|\theta=\theta_0) } \right] , p(y | \theta=\theta_0), dy \ &amp;= \int</em>{\mathcal{Y} } \left(\nabla^2_\theta p(y | \theta)\right)<em data-md-type="emphasis">{\theta=\theta_0} , dy \ &amp;= \left[ \nabla</em>\theta^2 \left( \int_{\mathcal{Y} } p(y | \theta) , dy \right) \right]<em data-md-type="emphasis">{\theta=\theta_0} \ &amp;= \left[ \nabla</em>\theta^2 , 1 \right]_{\theta=\theta_0} \ &amp;= 0. \end{align*}$$

对数配分函数的导数相关引理

如果 $a$、$b$ 和 $c$ 是标量值函数，则 $c$ 二次可微，使分布族 $\left{p(\cdot | \theta)\right}_{\theta \in \mathcal{T} }$ 定义为

$$p(y|\theta) = a(y) \exp\left(b(y), \theta - c(\theta)\right)$$

满足非极端正则条件，允许传递在对 $y$ 的积分符号内取对 $\theta$ 的微分，然后

$$\mathbb{E}_{Y \sim p(\cdot | \theta=\theta_0)} \left[ b(Y) \right] = c'(\theta_0)$$

和

$$\text{Var}_{Y \sim p(\cdot | \theta=\theta_0)} \left[ b(Y) \right] = c''(\theta_0).$$

（这里 $'$ 表示微分，所以 $c'$ 和 $c''$ 是 $c$ 的一阶导数和二阶导数。）

证明

对于此分布族，已知 $\text{score}(y, \theta_0) = b(y) - c'(\theta_0)$。然后第一个方程遵循以下事实 $\mathbb{E}_{Y \sim p(\cdot | \theta=\theta_0)} \left[ \text{score}(y, \theta_0) \right] = 0$。接下来，已知

$$\begin{align*} \text{Var}<em data-md-type="emphasis">{Y \sim p(\cdot | \theta=\theta_0)} \left[ b(Y) \right] &amp;= \mathbb{E}</em>{Y \sim p(\cdot | \theta=\theta_0)} \left[ \left(b(Y) - c'(\theta_0)\right)^2 \right] \ &amp;= \text{the one entry of } \mathbb{E}<em data-md-type="emphasis">{Y \sim p(\cdot | \theta=\theta_0)} \left[ \text{score}(y, \theta_0) \text{score}(y, \theta_0)^\top \right] \ &amp;= \text{the one entry of } -\mathbb{E}</em>{Y \sim p(\cdot | \theta=\theta_0)} \left[ \left(\nabla_\theta^2 \log p(\cdot | \theta)\right)<em data-md-type="emphasis">{\theta=\theta_0} \right] \ &amp;= -\mathbb{E}</em>{Y \sim p(\cdot | \theta=\theta_0)} \left[ -c''(\theta_0) \right] \ &amp;= c''(\theta_0). \end{align*}$$

过度离散指数族

过度离散指数族（标量）是一种分布族，其密度为

$$p_{\text{OEF}(m, T)}(y, |, \theta, \phi) = m(y, \phi) \exp\left(\frac{\theta, T(y) - A(\theta)}{\phi}\right),$$

其中 $m$ 和 $T$ 是已知的标量值函数，$\theta$ 和 $\phi$ 是标量参数。

[注：$A$ 是超定的：对于任何 $\phi_0$，函数 $A$ 完全由此约束定义：对所有 $\theta$，均满足 \int p_{\text{OEF}(m, T)}(y\ |\ \theta, \phi=\phi_0), dy = 1$。由不同的$\phi_0$值求得的$A$必须全部相同，这对$m$和$T$ 函数施加了约束。]

充分统计量的均值和方差

在与“对数配分函数的导数相关引理”部分的相同条件下，已知

\mathbb{E}{Y \sim p{\text{OEF}(m, T)}(\cdot | \theta, \phi)} \left[ T(Y) \right]

和

\text{Var}{Y \sim p{\text{OEF}(m, T)}(\cdot | \theta, \phi)} \left[ T(Y) \right]

证明

根据“对数配分函数的导数相关引理”，已知

\mathbb{E}{Y \sim p{\text{OEF}(m, T)}(\cdot | \theta, \phi)} \left[ \frac{T(Y)}{\phi} \right]

和

\text{Var}{Y \sim p{\text{OEF}(m, T)}(\cdot | \theta, \phi)} \left[ \frac{T(Y)}{\phi} \right]

结果满足期望为线性 ($\mathbb{E}[aX] = a\mathbb{E}[X]$) 并且方差为二次齐次式 ($\text{Var}[aX] = a^2 ,\text{Var}[X]$)。

广义线性模型

在广义线性模型中，响应变量 $Y$ 的预测分布与观察到的预测变量 $x$ 的向量相关联。该分布是过度离散指数族的成员，参数 $\theta$ 被替换为 $h(\eta)$，其中 $h$ 是已知函数，$\eta := x^\top \beta$ 是所谓的线性响应，$\beta$ 是要学习的参数（回归系数）的向量。通常，也可以学习离散参数 $\phi$，但在我们的设置中，我们将 $\phi$ 视为已知。因此我们设置如下

$$Y \sim p_{\text{OEF}(m, T)}(\cdot, |, \theta = h(\eta), \phi)$$

其中模型结构的特征在于分布 $p_{\text{OEF}(m, T)}$ 和将线性响应转换为参数的函数 $h$。

传统上，从线性响应 $\eta$ 到均值 $\mu := \mathbb{E}*{Y \sim p*{\text{OEF}(m, T)}(\cdot, |, \theta = h(\eta), \phi)}\left[ Y\right]$ 的映射表示为

$$\mu = g^{-1}(\eta).$$

此映射需为一对一映射，它的反函数 $g$ 被称为此 GLM 的联系函数。通常，人们通过命名其联系函数及其分布族来描述 GLM，例如，“具有伯努利分布和 logit 联系函数的 GLM”（也称为逻辑回归模型）。为了完全表征 GLM，还必须指定函数 $h$。如果 $h$ 为恒等函数，则称 $g$ 是正则联系函数。

声明：用充分统计量表达 $h'$

定义

$${\text{Mean}<em data-md-type="emphasis">T}(\eta) := \mathbb{E}</em>{Y \sim p_{\text{OEF}(m, T)}(\cdot | \theta = h(\eta), \phi)} \left[ T(Y) \right]$$

和

$${\text{Var}<em data-md-type="emphasis">T}(\eta) := \text{Var}</em>{Y \sim p_{\text{OEF}(m, T)}(\cdot | \theta = h(\eta), \phi)} \left[ T(Y) \right].$$

然后，已知

$$h'(\eta) = \frac{\phi, {\text{Mean}_T}'(\eta)}{ {\text{Var}_T}(\eta)}.$$

证明

根据“充分统计量的均值和方差”，已知

$${\text{Mean}_T}(\eta) = A'(h(\eta)).$$

用链式法则求导，我们得到 \( {\text{Mean}_T}'(\eta) = A''(h(\eta)), h'(\eta), \)

根据“充分统计量的均值和方差”

$$\cdots = \frac{1}{\phi} {\text{Var}_T}(\eta)\ h'(\eta).$$

结论如下。

将 GLM 参数拟合到数据

上面推导出的属性非常适合将 GLM 参数 $\beta$ 拟合到数据集。诸如 Fisher 得分法之类的拟牛顿法依赖于对数似然函数的梯度和 Fisher 信息，我们现在将展示对于 GLM 可以特别有效地计算这些信息。

假设我们已经观察到预测变量向量 $x_i$ 和相关的标量响应 $y_i$。在矩阵形式中，我们会说我们观察到了预测变量 $\mathbf{x}$ 和响应 $\mathbf{y}$，其中 $\mathbf{x}$ 是第 $i$ 行为 $x_i^\top$ 的矩阵，$\mathbf{y}$ 是第 $i$ 个元素为 $y_i$ 的向量。参数 $\beta$ 的对数似然函数为

$$\ell(\beta, ;, \mathbf{x}, \mathbf{y}) = \sum_{i=1}^{N} \log p_{\text{OEF}(m, T)}(y_i, |, \theta = h(x_i^\top \beta), \phi).$$

对于单个数据样本

为了简化表示法，让我们首先考虑单个数据点 $N=1$ 时的情况；然后我们将通过可加性扩展到一般情况。

梯度

已知

$$\begin{align*} \ell(\beta, ;, x, y) &amp;= \log p_{\text{OEF}(m, T)}(y, |, \theta = h(x^\top \beta), \phi) \ &amp;= \log m(y, \phi) + \frac{\theta, T(y) - A(\theta)}{\phi}, \quad\text{where}\ \theta = h(x^\top \beta). \end{align*}$$

因此，根据链式法则，

$$\nabla_\beta \ell(\beta, ; , x, y) = \frac{T(y) - A'(\theta)}{\phi}, h'(x^\top \beta), x.$$

另外，根据充分统计量的均值和方差”，已知 $A'(\theta) = {\text{Mean}_T}(x^\top \beta)$。因此，根据“声明：用充分统计量表达 $h'$”，可得

$$\cdots = \left(T(y) - {\text{Mean}_T}(x^\top \beta)\right) \frac{ {\text{Mean}_T}'(x^\top \beta)}{ {\text{Var}_T}(x^\top \beta)} ,x.$$

Hessian

由乘积法则二次求导，得到

$$\begin{align*} \nabla_\beta^2 \ell(\beta, ;, x, y) &amp;= \left[ -A''(h(x^\top \beta)), h'(x^\top \beta) \right] h'(x^\top \beta), x x^\top + \left[ T(y) - A'(h(x^\top \beta)) \right] h''(x^\top \beta), xx^\top ] \ &amp;= \left( -{\text{Mean}_T}'(x^\top \beta), h'(x^\top \beta) + \left[T(y) - A'(h(x^\top \beta))\right] \right), x x^\top. \end{align*}$$

Fisher 信息

根据“充分统计量的均值和方差”，已知

$$\mathbb{E}<em data-md-type="emphasis">{Y \sim p</em>{\text{OEF}(m, T)}(\cdot | \theta = h(x^\top \beta), \phi)} \left[ T(y) - A'(h(x^\top \beta)) \right] = 0.$$

因此

$$\begin{align*} \mathbb{E}<em data-md-type="emphasis">{Y \sim p</em>{\text{OEF}(m, T)}(\cdot | \theta = h(x^\top \beta), \phi)} \left[ \nabla_\beta^2 \ell(\beta, ;, x, y) \right] &amp;= -{\text{Mean}_T}'(x^\top \beta), h'(x^\top \beta) x x^\top \ &amp;= -\frac{\phi, {\text{Mean}_T}'(x^\top \beta)^2}{ {\text{Var}_T}(x^\top \beta)}, x x^\top. \end{align*}$$

对于多个数据样本

我们现在将 $N=1$ 情况扩展到一般情况。让$\boldsymbol{\eta} := \mathbf{x} \beta$ 表示第 i$个坐标是第 i$ 个数据样本的线性响应的向量。让 $\mathbf{T}$ (resp. ${\textbf{Mean}_T}$, resp. ${\textbf{Var}_T}$) 表示对每个坐标应用标量值函数 $T$ (resp. ${\text{Mean}_T}$, resp. ${\text{Var}_T}$) 的广播（矢量化）函数。然后可得

$$\begin{align*} \nabla_\beta \ell(\beta, ;, \mathbf{x}, \mathbf{y}) &amp;= \sum_{i=1}^{N} \nabla_\beta \ell(\beta, ;, x_i, y_i) \ &amp;= \sum_{i=1}^{N} \left(T(y) - {\text{Mean}_T}(x_i^\top \beta)\right) \frac{ {\text{Mean}_T}'(x_i^\top \beta)}{ {\text{Var}_T}(x_i^\top \beta)} , x_i \ &amp;= \mathbf{x}^\top ,\text{diag}\left(\frac{ {\textbf{Mean}_T}'(\mathbf{x} \beta) }{ {\textbf{Var}_T}(\mathbf{x} \beta) }\right) \left(\mathbf{T}(\mathbf{y}) - {\textbf{Mean}_T}(\mathbf{x} \beta)\right) \ \end{align*}$$

和

$$\begin{align*} \mathbb{E}<em data-md-type="emphasis">{Y_i \sim p</em>{\text{OEF}(m, T)}(\cdot | \theta = h(x_i^\top \beta), \phi)} \left[ \nabla_\beta^2 \ell(\beta, ;, \mathbf{x}, \mathbf{Y}) \right] &amp;= \sum_{i=1}^{N} \mathbb{E}<em data-md-type="emphasis">{Y_i \sim p</em>{\text{OEF}(m, T)}(\cdot | \theta = h(x_i^\top \beta), \phi)} \left[ \nabla_\beta^2 \ell(\beta, ;, x_i, Y_i) \right] \ &amp;= \sum_{i=1}^{N} -\frac{\phi, {\text{Mean}_T}'(x_i^\top \beta)^2}{ {\text{Var}_T}(x_i^\top \beta)}, x_i x_i^\top \ &amp;= -\mathbf{x}^\top ,\text{diag}\left( \frac{ \phi, {\textbf{Mean}_T}'(\mathbf{x} \beta)^2 }{ {\textbf{Var}_T}(\mathbf{x} \beta) }\right), \mathbf{x}, \end{align*}$$

其中分数表示逐元素相除。

以数值方式验证公式

我们现在使用 tf.gradients 以数值方式验证上述对数似然函数的梯度的公式，并使用 tf.hessians 通过蒙特卡洛估计验证 Fisher 信息的公式：

def VerifyGradientAndFIM():
  model = tfp.glm.BernoulliNormalCDF()
  model_matrix = np.array([[1., 5, -2],
                           [8, -1, 8]])

  def _naive_grad_and_hessian_loss_fn(x, response):
    # Computes gradient and Hessian of negative log likelihood using autodiff.
    predicted_linear_response = tf.linalg.matvec(model_matrix, x)
    log_probs = model.log_prob(response, predicted_linear_response)
    grad_loss = tf.gradients(-log_probs, [x])[0]
    hessian_loss = tf.hessians(-log_probs, [x])[0]
    return [grad_loss, hessian_loss]

  def _grad_neg_log_likelihood_and_fim_fn(x, response):
    # Computes gradient of negative log likelihood and Fisher information matrix
    # using the formulas above.
    predicted_linear_response = tf.linalg.matvec(model_matrix, x)
    mean, variance, grad_mean = model(predicted_linear_response)

    v = (response - mean) * grad_mean / variance
    grad_log_likelihood = tf.linalg.matvec(model_matrix, v, adjoint_a=True)
    w = grad_mean**2 / variance

    fisher_info = tf.linalg.matmul(
        model_matrix,
        w[..., tf.newaxis] * model_matrix,
        adjoint_a=True)
    return [-grad_log_likelihood, fisher_info]

  @tf.function(autograph=False)
  def compute_grad_hessian_estimates():
    # Monte Carlo estimate of E[Hessian(-LogLikelihood)], where the expectation is
    # as written in "Claim (Fisher information)" above.
    num_trials = 20
    trial_outputs = []
    np.random.seed(10)
    model_coefficients_ = np.random.random(size=(model_matrix.shape[1],))
    model_coefficients = tf.convert_to_tensor(model_coefficients_)
    for _ in range(num_trials):
      # Sample from the distribution of `model`
      response = np.random.binomial(
          1,
          scipy.stats.norm().cdf(np.matmul(model_matrix, model_coefficients_))
      ).astype(np.float64)
      trial_outputs.append(
          list(_naive_grad_and_hessian_loss_fn(model_coefficients, response)) +
          list(
              _grad_neg_log_likelihood_and_fim_fn(model_coefficients, response))
      )

    naive_grads = tf.stack(
        list(naive_grad for [naive_grad, _, _, _] in trial_outputs), axis=0)
    fancy_grads = tf.stack(
        list(fancy_grad for [_, _, fancy_grad, _] in trial_outputs), axis=0)

    average_hess = tf.reduce_mean(tf.stack(
        list(hess for [_, hess, _, _] in trial_outputs), axis=0), axis=0)
    [_, _, _, fisher_info] = trial_outputs[0]
    return naive_grads, fancy_grads, average_hess, fisher_info

  naive_grads, fancy_grads, average_hess, fisher_info = [
      t.numpy() for t in compute_grad_hessian_estimates()]

  print("Coordinatewise relative error between naively computed gradients and"
        " formula-based gradients (should be zero):\n{}\n".format(
            (naive_grads - fancy_grads) / naive_grads))

  print("Coordinatewise relative error between average of naively computed"
        " Hessian and formula-based FIM (should approach zero as num_trials"
        " -> infinity):\n{}\n".format(
                (average_hess - fisher_info) / average_hess))

VerifyGradientAndFIM()

Coordinatewise relative error between naively computed gradients and formula-based gradients (should be zero):
[[2.08845965e-16 1.67076772e-16 2.08845965e-16]
 [1.96118673e-16 3.13789877e-16 1.96118673e-16]
 [2.08845965e-16 1.67076772e-16 2.08845965e-16]
 [1.96118673e-16 3.13789877e-16 1.96118673e-16]
 [2.08845965e-16 1.67076772e-16 2.08845965e-16]
 [1.96118673e-16 3.13789877e-16 1.96118673e-16]
 [1.96118673e-16 3.13789877e-16 1.96118673e-16]
 [1.96118673e-16 3.13789877e-16 1.96118673e-16]
 [2.08845965e-16 1.67076772e-16 2.08845965e-16]
 [1.96118673e-16 3.13789877e-16 1.96118673e-16]
 [2.08845965e-16 1.67076772e-16 2.08845965e-16]
 [1.96118673e-16 3.13789877e-16 1.96118673e-16]
 [1.96118673e-16 3.13789877e-16 1.96118673e-16]
 [1.96118673e-16 3.13789877e-16 1.96118673e-16]
 [1.96118673e-16 3.13789877e-16 1.96118673e-16]
 [1.96118673e-16 3.13789877e-16 1.96118673e-16]
 [1.96118673e-16 3.13789877e-16 1.96118673e-16]
 [2.08845965e-16 1.67076772e-16 2.08845965e-16]
 [1.96118673e-16 3.13789877e-16 1.96118673e-16]
 [2.08845965e-16 1.67076772e-16 2.08845965e-16]]

Coordinatewise relative error between average of naively computed Hessian and formula-based FIM (should approach zero as num_trials -> infinity):
[[0.00072369 0.00072369 0.00072369]
 [0.00072369 0.00072369 0.00072369]
 [0.00072369 0.00072369 0.00072369]]

参考文献

[1]: Guo-Xun Yuan, Chia-Hua Ho and Chih-Jen Lin. An Improved GLMNET for L1-regularized Logistic Regression. Journal of Machine Learning Research, 13, 2012. http://www.jmlr.org/papers/volume13/yuan12a/yuan12a.pdf

[2]: skd. Derivation of Soft Thresholding Operator. 2018. https://math.stackexchange.com/q/511106

[3]: Wikipedia Contributors. Proximal gradient methods for learning. Wikipedia, The Free Encyclopedia, 2018. https://en.wikipedia.org/wiki/Proximal_gradient_methods_for_learning

[4]: Yao-Liang Yu. The Proximity Operator. https://www.cs.cmu.edu/~suvrit/teach/yaoliang_proximity.pdf