Эта страница переведена с помощью Cloud Translation API.

Восемь школ

Посмотреть на TensorFlow.org

Запускаем в Google Colab

Посмотреть исходный код на GitHub

Скачать блокнот

Проблема восемь школ ( Rubin 1981 ) считает , что эффективность программ наставничества SAT , проводимых параллельно в восьми школах. Она стала классической проблемой ( байесовский анализ данных , Стан ) , что иллюстрирует полезность иерархического моделирования для обмена информации между сменными группами.

РЕАЛИЗАЦИЯ ниже , является адаптацией Эдварда 1.0 учебника .

Импорт

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import seaborn as sns

import tensorflow.compat.v2 as tf
import tensorflow_probability as tfp
from tensorflow_probability import distributions as tfd
import warnings

tf.enable_v2_behavior()

plt.style.use("ggplot")
warnings.filterwarnings('ignore')

Данные

Из анализа байесовских данных, раздел 5.5 (Гельман и др., 2013):

Для Службы образовательного тестирования было проведено исследование, чтобы проанализировать влияние специальных программ коучинга для SAT-V (Scholastic Aptitude Test-Verbal) в каждой из восьми средних школ. Переменной результата в каждом исследовании была оценка по специальному тесту SAT-V, стандартизированного теста с множественным выбором, который проводится Службой образовательного тестирования и используется, чтобы помочь колледжам принимать решения о приеме; оценки могут варьироваться от 200 до 800, со средним значением около 500 и стандартным отклонением около 100. Экзамены SAT рассчитаны на устойчивость к краткосрочным усилиям, направленным конкретно на улучшение результатов теста; вместо этого они предназначены для отражения приобретенных знаний и способностей, приобретенных в течение многих лет обучения. Тем не менее, каждая из восьми школ, участвовавших в этом исследовании, сочла свою краткосрочную программу коучинга очень успешной в повышении результатов SAT. Кроме того, не было никаких предварительных оснований полагать, что какая-либо из восьми программ более эффективна, чем любая другая, или что некоторые из них более похожи по действию друг на друга, чем на какие-либо другие.

Для каждого из восьми школ ( $J = 8$ ), мы имеем оценочный эффект лечения $y_j$ и стандартную ошибку оценка эффекта $\sigma_j$ . Эффекты лечения в исследовании были получены путем линейной регрессии в группе лечения с использованием показателей PSAT-M и PSAT-V в качестве контрольных переменных. Так как не было никакого предварительного убеждения , что какие - либо из школ было более или менее похожи , или что какое - либо из тренерских программ будет более эффективным, мы можем рассмотреть эффекты лечения , как заменяемые .

num_schools = 8  # number of schools
treatment_effects = np.array(
    [28, 8, -3, 7, -1, 1, 18, 12], dtype=np.float32)  # treatment effects
treatment_stddevs = np.array(
    [15, 10, 16, 11, 9, 11, 10, 18], dtype=np.float32)  # treatment SE

fig, ax = plt.subplots()
plt.bar(range(num_schools), treatment_effects, yerr=treatment_stddevs)
plt.title("8 Schools treatment effects")
plt.xlabel("School")
plt.ylabel("Treatment effect")
fig.set_size_inches(10, 8)
plt.show()

PNG

Модель

Для сбора данных мы используем иерархическую нормальную модель. Он следует за генеративным процессом,

\begin{aligned} μ & \sim Normal (loc = 0, scale = 10) \\ \log τ & \sim Normal (loc = 5, scale = 1) \\ for & i = 1 \dots 8 : \\ θ_{i} \sim Normal (loc = μ, scale = τ) \\ y_{i} \sim Normal (loc = θ_{i}, scale = σ_{i}) \end{aligned}

$\begin{align*} \mu &\sim \text{Normal}(\text{loc}{=}0,\ \text{scale}{=}10) \\ \log\tau &\sim \text{Normal}(\text{loc}{=}5,\ \text{scale}{=}1) \\ \text{for } & i=1\ldots 8:\\ & \theta_i \sim \text{Normal}\left(\text{loc}{=}\mu,\ \text{scale}{=}\tau \right) \\ & y_i \sim \text{Normal}\left(\text{loc}{=}\theta_i,\ \text{scale}{=}\sigma_i \right) \end{align*}$

где $\mu$ представляет предшествующие среднего эффекта лечения и $\tau$ управления , сколько существует разницы между школами. $y_i$ и $\sigma_i$ наблюдаются. Как $\tau \rightarrow \infty$ , модель приближается к не-пулы модели, то есть, каждая из оценок эффекта лечения школы могут быть более независимыми. Как $\tau \rightarrow 0$ , модель приближается к модели комплектно-пул, то есть, все эффекты лечения школы ближе к группе среднего $\mu$ . Чтобы ограничить стандартное отклонение будет положительными, мы проводим $\tau$ из распределения логнормального (что эквивалентно рисунок $log(\tau)$ от нормального распределения).

После Диагностирования предвзято Выведение с дивергенцией , мы преобразуем модель выше в эквивалентную , не в центре модели:

\begin{aligned} μ & \sim Normal (loc = 0, scale = 10) \\ \log τ & \sim Normal (loc = 5, scale = 1) \\ for & i = 1 \dots 8 : \\ θ_{i}^{'} \sim Normal (loc = 0, scale = 1) \\ θ_{i} = μ + τ θ_{i}^{'} \\ y_{i} \sim Normal (loc = θ_{i}, scale = σ_{i}) \end{aligned}

$\begin{align*} \mu &\sim \text{Normal}(\text{loc}{=}0,\ \text{scale}{=}10) \\ \log\tau &\sim \text{Normal}(\text{loc}{=}5,\ \text{scale}{=}1) \\ \text{for } & i=1\ldots 8:\\ & \theta_i' \sim \text{Normal}\left(\text{loc}{=}0,\ \text{scale}{=}1 \right) \\ & \theta_i = \mu + \tau \theta_i' \\ & y_i \sim \text{Normal}\left(\text{loc}{=}\theta_i,\ \text{scale}{=}\sigma_i \right) \end{align*}$

Мы материализовать эту модель как JointDistributionSequential например:

model = tfd.JointDistributionSequential([
  tfd.Normal(loc=0., scale=10., name="avg_effect"),  # `mu` above
  tfd.Normal(loc=5., scale=1., name="avg_stddev"),  # `log(tau)` above
  tfd.Independent(tfd.Normal(loc=tf.zeros(num_schools),
                             scale=tf.ones(num_schools),
                             name="school_effects_standard"),  # `theta_prime` 
                  reinterpreted_batch_ndims=1),
  lambda school_effects_standard, avg_stddev, avg_effect: (
      tfd.Independent(tfd.Normal(loc=(avg_effect[..., tf.newaxis] +
                                      tf.exp(avg_stddev[..., tf.newaxis]) *
                                      school_effects_standard),  # `theta` above
                                 scale=treatment_stddevs),
                      name="treatment_effects",  # `y` above
                      reinterpreted_batch_ndims=1))
])

def target_log_prob_fn(avg_effect, avg_stddev, school_effects_standard):
  """Unnormalized target density as a function of states."""
  return model.log_prob((
      avg_effect, avg_stddev, school_effects_standard, treatment_effects))

Байесовский вывод

Учитывая данные, мы выполняем гамильтониан Монте-Карло (HMC), чтобы вычислить апостериорное распределение по параметрам модели.

num_results = 5000
num_burnin_steps = 3000

# Improve performance by tracing the sampler using `tf.function`
# and compiling it using XLA.
@tf.function(autograph=False, jit_compile=True)
def do_sampling():
  return tfp.mcmc.sample_chain(
      num_results=num_results,
      num_burnin_steps=num_burnin_steps,
      current_state=[
          tf.zeros([], name='init_avg_effect'),
          tf.zeros([], name='init_avg_stddev'),
          tf.ones([num_schools], name='init_school_effects_standard'),
      ],
      kernel=tfp.mcmc.HamiltonianMonteCarlo(
          target_log_prob_fn=target_log_prob_fn,
          step_size=0.4,
          num_leapfrog_steps=3))

states, kernel_results = do_sampling()

avg_effect, avg_stddev, school_effects_standard = states

school_effects_samples = (
    avg_effect[:, np.newaxis] +
    np.exp(avg_stddev)[:, np.newaxis] * school_effects_standard)

num_accepted = np.sum(kernel_results.is_accepted)
print('Acceptance rate: {}'.format(num_accepted / num_results))

Acceptance rate: 0.5974

fig, axes = plt.subplots(8, 2, sharex='col', sharey='col')
fig.set_size_inches(12, 10)
for i in range(num_schools):
  axes[i][0].plot(school_effects_samples[:,i].numpy())
  axes[i][0].title.set_text("School {} treatment effect chain".format(i))
  sns.kdeplot(school_effects_samples[:,i].numpy(), ax=axes[i][1], shade=True)
  axes[i][1].title.set_text("School {} treatment effect distribution".format(i))
axes[num_schools - 1][0].set_xlabel("Iteration")
axes[num_schools - 1][1].set_xlabel("School effect")
fig.tight_layout()
plt.show()

PNG

print("E[avg_effect] = {}".format(np.mean(avg_effect)))
print("E[avg_stddev] = {}".format(np.mean(avg_stddev)))
print("E[school_effects_standard] =")
print(np.mean(school_effects_standard[:, ]))
print("E[school_effects] =")
print(np.mean(school_effects_samples[:, ], axis=0))

E[avg_effect] = 5.57183933258
E[avg_stddev] = 2.47738981247
E[school_effects_standard] =
0.08509017
E[school_effects] =
[15.0051     7.103311   2.4552586  6.2744603  1.3364682  3.1125953
 12.762501   7.743602 ]

# Compute the 95% interval for school_effects
school_effects_low = np.array([
    np.percentile(school_effects_samples[:, i], 2.5) for i in range(num_schools)
])
school_effects_med = np.array([
    np.percentile(school_effects_samples[:, i], 50) for i in range(num_schools)
])
school_effects_hi = np.array([
    np.percentile(school_effects_samples[:, i], 97.5)
    for i in range(num_schools)
])

fig, ax = plt.subplots(nrows=1, ncols=1, sharex=True)
ax.scatter(np.array(range(num_schools)), school_effects_med, color='red', s=60)
ax.scatter(
    np.array(range(num_schools)) + 0.1, treatment_effects, color='blue', s=60)

plt.plot([-0.2, 7.4], [np.mean(avg_effect),
                       np.mean(avg_effect)], 'k', linestyle='--')

ax.errorbar(
    np.array(range(8)),
    school_effects_med,
    yerr=[
        school_effects_med - school_effects_low,
        school_effects_hi - school_effects_med
    ],
    fmt='none')

ax.legend(('avg_effect', 'HMC', 'Observed effect'), fontsize=14)

plt.xlabel('School')
plt.ylabel('Treatment effect')
plt.title('HMC estimated school treatment effects vs. observed data')
fig.set_size_inches(10, 8)
plt.show()

PNG

Мы можем наблюдать усадку к группе avg_effect выше.

print("Inferred posterior mean: {0:.2f}".format(
    np.mean(school_effects_samples[:,])))
print("Inferred posterior mean se: {0:.2f}".format(
    np.std(school_effects_samples[:,])))

Inferred posterior mean: 6.97
Inferred posterior mean se: 10.41

Критика

Для того, чтобы получить заднее прогностическое распределение, т.е. модели новых данных $y^*$ учитывая наблюдаемый данные $y$ :

p (y^{*} | y) \propto \int_{θ} p (y^{*} | θ) p (θ | y) d θ

$p(y^*|y) \propto \int_\theta p(y^* | \theta)p(\theta |y)d\theta$

мы переопределяют значения случайных величин в модели , чтобы установить их среднее апостериорного распределения, и образца от этой модели , чтобы генерировать новые данные $y^*$ .

sample_shape = [5000]

_, _, _, predictive_treatment_effects = model.sample(
    value=(tf.broadcast_to(np.mean(avg_effect, 0), sample_shape),
           tf.broadcast_to(np.mean(avg_stddev, 0), sample_shape),
           tf.broadcast_to(np.mean(school_effects_standard, 0),
                           sample_shape + [num_schools]),
           None))

fig, axes = plt.subplots(4, 2, sharex=True, sharey=True)
fig.set_size_inches(12, 10)
fig.tight_layout()
for i, ax in enumerate(axes):
  sns.kdeplot(predictive_treatment_effects[:, 2*i].numpy(),
              ax=ax[0], shade=True)
  ax[0].title.set_text(
      "School {} treatment effect posterior predictive".format(2*i))
  sns.kdeplot(predictive_treatment_effects[:, 2*i + 1].numpy(),
              ax=ax[1], shade=True)
  ax[1].title.set_text(
      "School {} treatment effect posterior predictive".format(2*i + 1))
plt.show()

PNG

# The mean predicted treatment effects for each of the eight schools.
prediction = np.mean(predictive_treatment_effects, axis=0)

Мы можем посмотреть на остатки между данными эффектов лечения и прогнозами апостериорной модели. Они соответствуют графику выше, который показывает уменьшение оцененных эффектов по отношению к среднему по населению.

treatment_effects - prediction

array([14.905351 ,  1.2838383, -5.6966295,  0.8327627, -2.3356671,
       -2.0363257,  5.997898 ,  4.3731265], dtype=float32)

Поскольку у нас есть распределение прогнозов для каждой школы, мы также можем учитывать распределение остатков.

residuals = treatment_effects - predictive_treatment_effects

fig, axes = plt.subplots(4, 2, sharex=True, sharey=True)
fig.set_size_inches(12, 10)
fig.tight_layout()
for i, ax in enumerate(axes):
  sns.kdeplot(residuals[:, 2*i].numpy(), ax=ax[0], shade=True)
  ax[0].title.set_text(
      "School {} treatment effect residuals".format(2*i))
  sns.kdeplot(residuals[:, 2*i + 1].numpy(), ax=ax[1], shade=True)
  ax[1].title.set_text(
      "School {} treatment effect residuals".format(2*i + 1))
plt.show()

PNG

Благодарности

Этот учебник был изначально написан на Эдварде 1.0 ( источник ). Мы благодарим всех участников за написание и исправление этой версии.

использованная литература

Дональд Б. Рубин. Оценка в параллельных рандомизированных экспериментах. Журнал статистики образования, 6 (4): 377-401, 1981.
Эндрю Гельман, Джон Карлин, Хэл Стерн, Дэвид Дансон, Аки Вехтари и Дональд Рубин. Байесовский анализ данных, третье издание. Чепмен и Холл / CRC, 2013.