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Modelo de Mistura Bayesiana Gaussiana e MCMC Hamiltoniano

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Neste colab, vamos explorar a amostragem da parte posterior de um modelo de mistura gaussiana bayesiana (BGMM) usando apenas primitivas de probabilidade TensorFlow.

Modelo

Para $k\in\{1,\ldots, K\}$ componentes da mistura de cada um de dimensão $D$ , gostaríamos de modelo $i\in\{1,\ldots,N\}$ amostras usando o seguinte modelo de mistura Gaussiana de Bayesian iid:

\begin{aligned} θ & \sim Dirichlet (concentration = α_{0}) \\ μ_{k} & \sim Normal (loc = μ_{0 k}, scale = I_{D}) \\ T_{k} & \sim Wishart (df = 5, scale = I_{D}) \\ Z_{i} & \sim Categorical (probs = θ) \\ Y_{i} & \sim Normal (loc = μ_{z_{i}}, scale = T_{z_{i}}^{- 1 / 2}) \end{aligned}

$\begin{align*} \theta &\sim \text{Dirichlet}(\text{concentration}=\alpha_0)\\ \mu_k &\sim \text{Normal}(\text{loc}=\mu_{0k}, \text{scale}=I_D)\\ T_k &\sim \text{Wishart}(\text{df}=5, \text{scale}=I_D)\\ Z_i &\sim \text{Categorical}(\text{probs}=\theta)\\ Y_i &\sim \text{Normal}(\text{loc}=\mu_{z_i}, \text{scale}=T_{z_i}^{-1/2})\\ \end{align*}$

Note, os scale argumentos todos têm cholesky semântica. Usamos essa convenção porque é a das Distribuições TF (que por sua vez usa essa convenção em parte porque é computacionalmente vantajosa).

Nosso objetivo é gerar amostras a partir da parte posterior:

p (θ, {μ_{k}, T_{k}}_{k = 1}^{K} | {y_{i}}_{i = 1}^{N}, α_{0}, {μ_{o k}}_{k = 1}^{K})

$p\left(\theta, \{\mu_k, T_k\}_{k=1}^K \Big| \{y_i\}_{i=1}^N, \alpha_0, \{\mu_{ok}\}_{k=1}^K\right)$

Observe que $\{Z_i\}_{i=1}^N$ não está presente - estamos interessados em apenas as variáveis aleatórias que não escalam com $N$ . (E felizmente há uma distribuição TF que lida com marginalizando a $Z_i$ .)

Não é possível obter amostras diretamente dessa distribuição devido a um termo de normalização intratável computacionalmente.

Algoritmos de Metropolis-Hastings são técnica para a amostragem a partir de distribuições intratáveis-se normalizar.

O TensorFlow Probability oferece várias opções de MCMC, incluindo várias baseadas em Metropolis-Hastings. Neste caderno, usaremos Hamiltonian Monte Carlo ( tfp.mcmc.HamiltonianMonteCarlo ). O HMC costuma ser uma boa escolha porque pode convergir rapidamente, amostrar o espaço de estado em conjunto (em vez de coordenar) e alavancar uma das virtudes do TF: diferenciação automática. Dito isto, a amostragem de um posterior BGMM pode realmente ser melhor feito por outras abordagens, por exemplo, de amostragem de Gibb .

%matplotlib inline


import functools

import matplotlib.pyplot as plt; plt.style.use('ggplot')
import numpy as np
import seaborn as sns; sns.set_context('notebook')

import tensorflow.compat.v2 as tf
tf.enable_v2_behavior()
import tensorflow_probability as tfp

tfd = tfp.distributions
tfb = tfp.bijectors

physical_devices = tf.config.experimental.list_physical_devices('GPU')
if len(physical_devices) > 0:
  tf.config.experimental.set_memory_growth(physical_devices[0], True)

Antes de realmente construir o modelo, precisaremos definir um novo tipo de distribuição. A partir da especificação do modelo acima, fica claro que estamos parametrizando o MVN com uma matriz de covariância inversa, ou seja, [matriz de precisão] (https://en.wikipedia.org/wiki/Precision_ (estatísticas% 29). Para fazer isso em TF, vamos precisar rolar a nossa Bijector Este. Bijector usará a transformação para a frente:

Y = tf.linalg.triangular_solve((tf.linalg.matrix_transpose(chol_precision_tril), X, adjoint=True) + loc .

E o log_prob cálculo é apenas o inverso, ou seja:

X = tf.linalg.matmul(chol_precision_tril, X - loc, adjoint_a=True) .

Uma vez que todos necessidade que para HMC é log_prob , isso significa que evitar sempre chamando tf.linalg.triangular_solve (como seria o caso para tfd.MultivariateNormalTriL ). Isto é vantajoso uma vez tf.linalg.matmul geralmente é mais rápido devido à melhor localidade cache.

class MVNCholPrecisionTriL(tfd.TransformedDistribution):
  """MVN from loc and (Cholesky) precision matrix."""

  def __init__(self, loc, chol_precision_tril, name=None):
    super(MVNCholPrecisionTriL, self).__init__(
        distribution=tfd.Independent(tfd.Normal(tf.zeros_like(loc),
                                                scale=tf.ones_like(loc)),
                                     reinterpreted_batch_ndims=1),
        bijector=tfb.Chain([
            tfb.Shift(shift=loc),
            tfb.Invert(tfb.ScaleMatvecTriL(scale_tril=chol_precision_tril,
                                           adjoint=True)),
        ]),
        name=name)

O tfd.Independent curvas de distribuição independente chama de uma distribuição, num distribuição multivariada com coordenadas estatisticamente independentes. Em termos de computação log_prob , este manifesta "meta-distribuição", como uma soma simples sobre a dimensão (s) evento.

Note também que tomamos a adjoint ( "transposição") da matriz escala. Isto é porque se a precisão é covariância inversa, ou seja, $P=C^{-1}$ e se $C=AA^\top$ , então $P=BB^{\top}$ onde $B=A^{-\top}$ .

Desde essa distribuição é uma espécie de complicado, vamos verificar rapidamente se o nosso MVNCholPrecisionTriL funciona como pensamos que deveria.

def compute_sample_stats(d, seed=42, n=int(1e6)):
  x = d.sample(n, seed=seed)
  sample_mean = tf.reduce_mean(x, axis=0, keepdims=True)
  s = x - sample_mean
  sample_cov = tf.linalg.matmul(s, s, adjoint_a=True) / tf.cast(n, s.dtype)
  sample_scale = tf.linalg.cholesky(sample_cov)
  sample_mean = sample_mean[0]
  return [
      sample_mean,
      sample_cov,
      sample_scale,
  ]

dtype = np.float32
true_loc = np.array([1., -1.], dtype=dtype)
true_chol_precision = np.array([[1., 0.],
                                [2., 8.]],
                               dtype=dtype)
true_precision = np.matmul(true_chol_precision, true_chol_precision.T)
true_cov = np.linalg.inv(true_precision)

d = MVNCholPrecisionTriL(
    loc=true_loc,
    chol_precision_tril=true_chol_precision)

[sample_mean, sample_cov, sample_scale] = [
    t.numpy() for t in compute_sample_stats(d)]

print('true mean:', true_loc)
print('sample mean:', sample_mean)
print('true cov:\n', true_cov)
print('sample cov:\n', sample_cov)

true mean: [ 1. -1.]
sample mean: [ 1.0002806 -1.000105 ]
true cov:
 [[ 1.0625   -0.03125 ]
 [-0.03125   0.015625]]
sample cov:
 [[ 1.0641273  -0.03126175]
 [-0.03126175  0.01559312]]

Como a média e a covariância da amostra estão próximas da média e da covariância verdadeiras, parece que a distribuição está implementada corretamente. Agora, vamos usar MVNCholPrecisionTriL tfp.distributions.JointDistributionNamed para especificar o modelo BGMM. Para o modelo de observação, usaremos tfd.MixtureSameFamily para integrar automaticamente o $\{Z_i\}_{i=1}^N$ empates.

dtype = np.float64
dims = 2
components = 3
num_samples = 1000

bgmm = tfd.JointDistributionNamed(dict(
  mix_probs=tfd.Dirichlet(
    concentration=np.ones(components, dtype) / 10.),
  loc=tfd.Independent(
    tfd.Normal(
        loc=np.stack([
            -np.ones(dims, dtype),
            np.zeros(dims, dtype),
            np.ones(dims, dtype),
        ]),
        scale=tf.ones([components, dims], dtype)),
    reinterpreted_batch_ndims=2),
  precision=tfd.Independent(
    tfd.WishartTriL(
        df=5,
        scale_tril=np.stack([np.eye(dims, dtype=dtype)]*components),
        input_output_cholesky=True),
    reinterpreted_batch_ndims=1),
  s=lambda mix_probs, loc, precision: tfd.Sample(tfd.MixtureSameFamily(
      mixture_distribution=tfd.Categorical(probs=mix_probs),
      components_distribution=MVNCholPrecisionTriL(
          loc=loc,
          chol_precision_tril=precision)),
      sample_shape=num_samples)
))

def joint_log_prob(observations, mix_probs, loc, chol_precision):
  """BGMM with priors: loc=Normal, precision=Inverse-Wishart, mix=Dirichlet.

  Args:
    observations: `[n, d]`-shaped `Tensor` representing Bayesian Gaussian
      Mixture model draws. Each sample is a length-`d` vector.
    mix_probs: `[K]`-shaped `Tensor` representing random draw from
      `Dirichlet` prior.
    loc: `[K, d]`-shaped `Tensor` representing the location parameter of the
      `K` components.
    chol_precision: `[K, d, d]`-shaped `Tensor` representing `K` lower
      triangular `cholesky(Precision)` matrices, each being sampled from
      a Wishart distribution.

  Returns:
    log_prob: `Tensor` representing joint log-density over all inputs.
  """
  return bgmm.log_prob(
      mix_probs=mix_probs, loc=loc, precision=chol_precision, s=observations)

Gerar dados de "treinamento"

Para esta demonstração, vamos amostrar alguns dados aleatórios.

true_loc = np.array([[-2., -2],
                     [0, 0],
                     [2, 2]], dtype)
random = np.random.RandomState(seed=43)

true_hidden_component = random.randint(0, components, num_samples)
observations = (true_loc[true_hidden_component] +
                random.randn(num_samples, dims).astype(dtype))

Inferência Bayesiana usando HMC

Agora que usamos TFD para especificar nosso modelo e obtivemos alguns dados observados, temos todas as peças necessárias para executar o HMC.

Para fazer isso, vamos utilizar uma aplicação parcial com "pin down" as coisas que não querem amostra. Neste caso, isso significa que só precisa de definir observations . (Os hiper-parâmetros já são cozidos em distribuições para os anteriores e que não faz parte do joint_log_prob assinatura função).

unnormalized_posterior_log_prob = functools.partial(joint_log_prob, observations)

initial_state = [
    tf.fill([components],
            value=np.array(1. / components, dtype),
            name='mix_probs'),
    tf.constant(np.array([[-2., -2],
                          [0, 0],
                          [2, 2]], dtype),
                name='loc'),
    tf.linalg.eye(dims, batch_shape=[components], dtype=dtype, name='chol_precision'),
]

Representação Irrestrita

O Hamiltoniano Monte Carlo (HMC) requer que a função de log-probabilidade de destino seja diferenciável com relação a seus argumentos. Além disso, o HMC pode exibir eficiência estatística dramaticamente maior se o espaço de estado não for restringido.

Isso significa que teremos que resolver dois problemas principais ao amostrar a partir da parte posterior do BGMM:

$\theta$ representa um vector de probabilidade discreta, isto é, deve ser tal que $\sum_{k=1}^K \theta_k = 1$ e $\theta_k>0$ .
$T_k$ representa uma matriz de covariância inversa, ou seja, deve ser tal que $T_k \succ 0$ , isto é, é definida positiva .

Para atender a esse requisito, precisaremos:

transformar as variáveis restritas em um espaço irrestrito
execute o MCMC em espaço irrestrito
transforme as variáveis irrestritas de volta ao espaço restrito.

Tal como acontece com MVNCholPrecisionTriL , usaremos Bijector s para transformar variáveis aleatórias para o espaço sem restrições.

O Dirichlet é transformado para o espaço sem restrições através da função Softmax .
Nossa variável aleatória de precisão é uma distribuição sobre matrizes semidefinidas positivas. Para Libertar estes usaremos os FillTriangular e TransformDiagonal bijectors. Esses vetores convertem em matrizes triangulares inferiores e garantem que a diagonal seja positiva. O primeiro é útil porque permite a amostragem única $d(d+1)/2$ flutua em vez de $d^2$ .

unconstraining_bijectors = [
    tfb.SoftmaxCentered(),
    tfb.Identity(),
    tfb.Chain([
        tfb.TransformDiagonal(tfb.Softplus()),
        tfb.FillTriangular(),
    ])]

@tf.function(autograph=False)
def sample():
  return tfp.mcmc.sample_chain(
    num_results=2000,
    num_burnin_steps=500,
    current_state=initial_state,
    kernel=tfp.mcmc.SimpleStepSizeAdaptation(
        tfp.mcmc.TransformedTransitionKernel(
            inner_kernel=tfp.mcmc.HamiltonianMonteCarlo(
                target_log_prob_fn=unnormalized_posterior_log_prob,
                 step_size=0.065,
                 num_leapfrog_steps=5),
            bijector=unconstraining_bijectors),
         num_adaptation_steps=400),
    trace_fn=lambda _, pkr: pkr.inner_results.inner_results.is_accepted)

[mix_probs, loc, chol_precision], is_accepted = sample()

Agora vamos executar a cadeia e imprimir os meios posteriores.

acceptance_rate = tf.reduce_mean(tf.cast(is_accepted, dtype=tf.float32)).numpy()
mean_mix_probs = tf.reduce_mean(mix_probs, axis=0).numpy()
mean_loc = tf.reduce_mean(loc, axis=0).numpy()
mean_chol_precision = tf.reduce_mean(chol_precision, axis=0).numpy()
precision = tf.linalg.matmul(chol_precision, chol_precision, transpose_b=True)

print('acceptance_rate:', acceptance_rate)
print('avg mix probs:', mean_mix_probs)
print('avg loc:\n', mean_loc)
print('avg chol(precision):\n', mean_chol_precision)

acceptance_rate: 0.5305
avg mix probs: [0.25248723 0.60729516 0.1402176 ]
avg loc:
 [[-1.96466753 -2.12047249]
 [ 0.27628865  0.22944732]
 [ 2.06461244  2.54216122]]
avg chol(precision):
 [[[ 1.05105032  0.        ]
  [ 0.12699955  1.06553113]]

 [[ 0.76058015  0.        ]
  [-0.50332767  0.77947431]]

 [[ 1.22770457  0.        ]
  [ 0.70670027  1.50914164]]]

loc_ = loc.numpy()
ax = sns.kdeplot(loc_[:,0,0], loc_[:,0,1], shade=True, shade_lowest=False)
ax = sns.kdeplot(loc_[:,1,0], loc_[:,1,1], shade=True, shade_lowest=False)
ax = sns.kdeplot(loc_[:,2,0], loc_[:,2,1], shade=True, shade_lowest=False)
plt.title('KDE of loc draws');

png

Conclusão

Este colab simples demonstrou como as primitivas de probabilidade do TensorFlow podem ser usadas para construir modelos hierárquicos de mistura bayesiana.