피요르드

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설정

먼저 이 데모에 사용된 패키지를 설치합니다.

pip install -q dm-sonnet

가져오기(tf, adjoint 트릭이 있는 tfp 등)

import numpy as np
import tqdm as tqdm
import sklearn.datasets as skd

# visualization
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
from scipy.stats import kde

# tf and friends
import tensorflow.compat.v2 as tf
import tensorflow_probability as tfp
import sonnet as snt
tf.enable_v2_behavior()

tfb = tfp.bijectors
tfd = tfp.distributions

def make_grid(xmin, xmax, ymin, ymax, gridlines, pts):
  xpts = np.linspace(xmin, xmax, pts)
  ypts = np.linspace(ymin, ymax, pts)
  xgrid = np.linspace(xmin, xmax, gridlines)
  ygrid = np.linspace(ymin, ymax, gridlines)
  xlines = np.stack([a.ravel() for a in np.meshgrid(xpts, ygrid)])
  ylines = np.stack([a.ravel() for a in np.meshgrid(xgrid, ypts)])
  return np.concatenate([xlines, ylines], 1).T

grid = make_grid(-3, 3, -3, 3, 4, 100)

/usr/local/lib/python3.6/dist-packages/statsmodels/tools/_testing.py:19: FutureWarning: pandas.util.testing is deprecated. Use the functions in the public API at pandas.testing instead.
  import pandas.util.testing as tm

시각화를 위한 도우미 함수

FFJORD 바이젝터

이 공동 연구에서 우리는 Grathwohl, Will 등의 논문에서 원래 제안된 FFJORD 바이젝터를 시연합니다. 링크를 arxiv .

간단히 말해서 이러한 접근 방식 뒤에 아이디어는 알려진 기본 배포 및 데이터 분배 사이의 대응 관계를 구축하는 것입니다.

이 연결을 설정하려면 다음을 수행해야 합니다.

  1. 전단 사지도 정의 \(\mathcal{T}_{\theta}:\mathbf{x} \rightarrow \mathbf{y}\), \(\mathcal{T}_{\theta}^{1}:\mathbf{y} \rightarrow \mathbf{x}\) 공간 사이 \(\mathcal{Y}\) 베이스 분포가 정의 된 공간과 \(\mathcal{X}\) 데이터를 도메인.
  2. 효율적으로 우리가에 확률의 개념을 전송하기 위해 수행하는 변형의 트랙을 유지 \(\mathcal{X}\).

두 번째 조건에 정의 된 확률 분포에 대한 다음과 같은 식으로 공식화 \(\mathcal{X}\):

\[ \log p_{\mathbf{x} }(\mathbf{x})=\log p_{\mathbf{y} }(\mathbf{y})-\log \operatorname{det}\left|\frac{\partial \mathcal{T}_{\theta}(\mathbf{y})}{\partial \mathbf{y} }\right| \]

FFJORD 바이젝터는 변환을 정의하여 이를 수행합니다.

\[ \mathcal{T_{\theta} }: \mathbf{x} = \mathbf{z}(t_{0}) \rightarrow \mathbf{y} = \mathbf{z}(t_{1}) \quad : \quad \frac{d \mathbf{z} }{dt} = \mathbf{f}(t, \mathbf{z}, \theta) \]

긴 함수만큼이 변환이 가역 인 \(\mathbf{f}\) 상태의 발전 기술 \(\mathbf{z}\) 잘 행동하고 log_det_jacobian 다음 식을 적분하여 산출 할 수있다.

\[ \log \operatorname{det}\left|\frac{\partial \mathcal{T}_{\theta}(\mathbf{y})}{\partial \mathbf{y} }\right| = -\int_{t_{0} }^{t_{1} } \operatorname{Tr}\left(\frac{\partial \mathbf{f}(t, \mathbf{z}, \theta)}{\partial \mathbf{z}(t)}\right) d t \]

이 데모에서 우리는에 의해 정의 된 유통 위에 가우시안 분포 워프하는 FFJORD의 bijector을 훈련 할 것이다 moons 데이터 집합을. 이 작업은 3단계로 수행됩니다.

  • 기본 분포를 정의
  • FFJORD 바이젝터 정의
  • 데이터 세트의 정확한 로그 가능성 최소화

먼저 데이터를 로드합니다.

데이터세트

png

다음으로 기본 분포를 인스턴스화합니다.

base_loc = np.array([0.0, 0.0]).astype(np.float32)
base_sigma = np.array([0.8, 0.8]).astype(np.float32)
base_distribution = tfd.MultivariateNormalDiag(base_loc, base_sigma)

우리는 모델에 퍼셉트론 멀티 레이어를 사용 state_derivative_fn .

이 데이터 집합에 필요한 것은 아니지만, 그것을 만들기 위해 종종 benefitial입니다 state_derivative_fn 시간에 따라 다릅니다. 여기에서 우리는 연결하여이를 t 우리의 네트워크의 입력에.

class MLP_ODE(snt.Module):
  """Multi-layer NN ode_fn."""
  def __init__(self, num_hidden, num_layers, num_output, name='mlp_ode'):
    super(MLP_ODE, self).__init__(name=name)
    self._num_hidden = num_hidden
    self._num_output = num_output
    self._num_layers = num_layers
    self._modules = []
    for _ in range(self._num_layers - 1):
      self._modules.append(snt.Linear(self._num_hidden))
      self._modules.append(tf.math.tanh)
    self._modules.append(snt.Linear(self._num_output))
    self._model = snt.Sequential(self._modules)

  def __call__(self, t, inputs):
    inputs = tf.concat([tf.broadcast_to(t, inputs.shape), inputs], -1)
    return self._model(inputs)

모델 및 훈련 매개변수

이제 FFJORD 바이젝터 스택을 구성합니다. 각 bijector이 제공된다 ode_solve_fn 및 trace_augmentation_fn 그것은 자신의 state_derivative_fn 서로 다른 변형의 순서를 나타냅니다 그래서, 모델.

건물 바이젝터

이제 우리는 사용할 수 TransformedDistribution 뒤틀림의 결과 base_distribution 함께 stacked_ffjord bijector을.

transformed_distribution = tfd.TransformedDistribution(
    distribution=base_distribution, bijector=stacked_ffjord)

이제 훈련 절차를 정의합니다. 우리는 단순히 데이터의 음수 로그 가능성을 최소화합니다.

훈련

시료

기본 및 변환된 분포에서 샘플을 플로팅합니다.

evaluation_samples = []
base_samples, transformed_samples = get_samples()
transformed_grid = get_transformed_grid()
evaluation_samples.append((base_samples, transformed_samples, transformed_grid))

WARNING:tensorflow:From /usr/local/lib/python3.6/dist-packages/tensorflow/python/ops/resource_variable_ops.py:1817: calling BaseResourceVariable.__init__ (from tensorflow.python.ops.resource_variable_ops) with constraint is deprecated and will be removed in a future version.
Instructions for updating:
If using Keras pass *_constraint arguments to layers.

panel_id = 0
panel_data = evaluation_samples[panel_id]
fig, axarray = plt.subplots(
  1, 4, figsize=(16, 6))
plot_panel(
    grid, panel_data[0], panel_data[2], panel_data[1], moons, axarray, False)
plt.tight_layout()

png

learning_rate = tf.Variable(LR, trainable=False)
optimizer = snt.optimizers.Adam(learning_rate)

for epoch in tqdm.trange(NUM_EPOCHS // 2):
  base_samples, transformed_samples = get_samples()
  transformed_grid = get_transformed_grid()
  evaluation_samples.append(
      (base_samples, transformed_samples, transformed_grid))
  for batch in moons_ds:
    _ = train_step(optimizer, batch)

0%|          | 0/40 [00:00<?, ?it/s]
WARNING:tensorflow:From /usr/local/lib/python3.6/dist-packages/tensorflow_probability/python/math/ode/base.py:350: calling while_loop_v2 (from tensorflow.python.ops.control_flow_ops) with back_prop=False is deprecated and will be removed in a future version.
Instructions for updating:
back_prop=False is deprecated. Consider using tf.stop_gradient instead.
Instead of:
results = tf.while_loop(c, b, vars, back_prop=False)
Use:
results = tf.nest.map_structure(tf.stop_gradient, tf.while_loop(c, b, vars))
100%|██████████| 40/40 [07:00<00:00, 10.52s/it]

panel_id = -1
panel_data = evaluation_samples[panel_id]
fig, axarray = plt.subplots(
  1, 4, figsize=(16, 6))
plot_panel(grid, panel_data[0], panel_data[2], panel_data[1], moons, axarray)
plt.tight_layout()

png

학습률로 더 오래 훈련하면 더 나은 결과를 얻을 수 있습니다.

이 예에서 변환되지 않은 FFJORD 바이젝터는 hutchinson의 확률적 추적 추정을 지원합니다. 특정 추정기를 통해 제공 될 수 trace_augmentation_fn . 마찬가지로 다른 통합이 커스텀 정의하여 사용할 수 ode_solve_fn .