FFJORD

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セットアップ

まず、このデモで使用するパッケージをインストールします。

pip install -q dm-sonnet

Imports (tf, tfp with adjoint trick, etc)

import numpy as np
import tqdm as tqdm
import sklearn.datasets as skd

# visualization
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
from scipy.stats import kde

# tf and friends
import tensorflow.compat.v2 as tf
import tensorflow_probability as tfp
import sonnet as snt
tf.enable_v2_behavior()

tfb = tfp.bijectors
tfd = tfp.distributions

def make_grid(xmin, xmax, ymin, ymax, gridlines, pts):
  xpts = np.linspace(xmin, xmax, pts)
  ypts = np.linspace(ymin, ymax, pts)
  xgrid = np.linspace(xmin, xmax, gridlines)
  ygrid = np.linspace(ymin, ymax, gridlines)
  xlines = np.stack([a.ravel() for a in np.meshgrid(xpts, ygrid)])
  ylines = np.stack([a.ravel() for a in np.meshgrid(xgrid, ypts)])
  return np.concatenate([xlines, ylines], 1).T

grid = make_grid(-3, 3, -3, 3, 4, 100)

/usr/local/lib/python3.6/dist-packages/statsmodels/tools/_testing.py:19: FutureWarning: pandas.util.testing is deprecated. Use the functions in the public API at pandas.testing instead.
  import pandas.util.testing as tm

Helper functions for visualization

def plot_density(data, axis):
  x, y = np.squeeze(np.split(data, 2, axis=1))
  levels = np.linspace(0.0, 0.75, 10)
  kwargs = {'levels': levels}
  return sns.kdeplot(x, y, cmap="viridis", shade=True, 
                     shade_lowest=True, ax=axis, **kwargs)


def plot_points(data, axis, s=10, color='b', label=''):
  x, y = np.squeeze(np.split(data, 2, axis=1))
  axis.scatter(x, y, c=color, s=s, label=label)


def plot_panel(
    grid, samples, transformed_grid, transformed_samples,
    dataset, axarray, limits=True):
  if len(axarray) != 4:
    raise ValueError('Expected 4 axes for the panel')
  ax1, ax2, ax3, ax4 = axarray
  plot_points(data=grid, axis=ax1, s=20, color='black', label='grid')
  plot_points(samples, ax1, s=30, color='blue', label='samples')
  plot_points(transformed_grid, ax2, s=20, color='black', label='ode(grid)')
  plot_points(transformed_samples, ax2, s=30, color='blue', label='ode(samples)')
  ax3 = plot_density(transformed_samples, ax3)
  ax4 = plot_density(dataset, ax4)
  if limits:
    set_limits([ax1], -3.0, 3.0, -3.0, 3.0)
    set_limits([ax2], -2.0, 3.0, -2.0, 3.0)
    set_limits([ax3, ax4], -1.5, 2.5, -0.75, 1.25)


def set_limits(axes, min_x, max_x, min_y, max_y):
  if isinstance(axes, list):
    for axis in axes:
      set_limits(axis, min_x, max_x, min_y, max_y)
  else:
    axes.set_xlim(min_x, max_x)
    axes.set_ylim(min_y, max_y)

FFJORD バイジェクター

この Colab では、元々 Grathwohl, Will, et al. arxiv リンクの論文で提案された FFJORD バイジェクターを説明します。

手短に言うと、このアプローチの背後には、既知の基礎分布とデータ分布間の対応を確立するという考えがあります。

この関係を確立するには、以下を行う必要があります。

基底分布が定義される空間 $\mathcal{Y}$ とデータドメインの空間 $\mathcal{X}$ 間のバイジェクティブマップ $\mathcal{T}*{\theta}:\mathbf{x} \rightarrow \mathbf{y}$ , $\mathcal{T}*{\theta}^{1}:\mathbf{y} \rightarrow \mathbf{x}$ を定義します。
確率の概念を $\mathcal{X}$ に転移するために、実行する変形を効率的に追跡します。

2 つ目の条件は、 $\mathcal{X}$ に定義された確率分布のために、以下の式で形式化されます。

\log p_{x} (x) = \log p_{y} (y) - \log \det | \frac{\partial T_{θ} (y)}{\partial y} |

$\log p_{\mathbf{x} }(\mathbf{x})=\log p_{\mathbf{y} }(\mathbf{y})-\log \operatorname{det}\left|\frac{\partial \mathcal{T}_{\theta}(\mathbf{y})}{\partial \mathbf{y} }\right|$

FFJORD バイジェクターは、変換 $\mathcal{T_{\theta} } を定義することで、これを行います。\mathbf{x} = \mathbf{z}(t_{0}) \rightarrow \mathbf{y} = \mathbf{z}(t_{1}) \quad : \quad \frac{d \mathbf{z} }{dt} = \mathbf{f}(t, \mathbf{z}, \theta)$

この変換は、状態 $\mathbf{z}$ の進化を説明する関数 $\mathbf{f}$ がうまく動作する限り可逆的であり、log_det_jacobian は、次の式を組み込むことで計算することができます。

\log \det | \frac{\partial T * θ (y)}{\partial y} | = - \int * {t_{0}}^{t_{1}} Tr (\frac{\partial f (t, z, θ)}{\partial z (t)}) d t

$\log \operatorname{det}\left|\frac{\partial \mathcal{T}*{\theta}(\mathbf{y})}{\partial \mathbf{y} }\right| = -\int*{t_{0} }^{t_{1} } \operatorname{Tr}\left(\frac{\partial \mathbf{f}(t, \mathbf{z}, \theta)}{\partial \mathbf{z}(t)}\right) d t$

このデモでは、ガウス分布を moons データセットで定義される分布にラップするように、FFJORD バイジェクターをトレーニングします。これは以下の 3 つのステップで行います。

基底分布を定義する
FFJORD バイジェクターを定義する
データセットの正確な対数尤度を最小化にする

まず、データを読み込みます。

Dataset

DATASET_SIZE = 1024 * 8 
BATCH_SIZE = 256 
SAMPLE_SIZE = DATASET_SIZE

moons = skd.make_moons(n_samples=DATASET_SIZE, noise=.06)[0]

moons_ds = tf.data.Dataset.from_tensor_slices(moons.astype(np.float32))
moons_ds = moons_ds.prefetch(tf.data.experimental.AUTOTUNE)
moons_ds = moons_ds.cache()
moons_ds = moons_ds.shuffle(DATASET_SIZE)
moons_ds = moons_ds.batch(BATCH_SIZE)

plt.figure(figsize=[8, 8])
plt.scatter(moons[:, 0], moons[:, 1])
plt.show()

png

次に、基底分布をインスタンス化します。

base_loc = np.array([0.0, 0.0]).astype(np.float32)
base_sigma = np.array([0.8, 0.8]).astype(np.float32)
base_distribution = tfd.MultivariateNormalDiag(base_loc, base_sigma)

多層パーセプトロンを使用して、state_derivative_fn をモデル化します。

このデータセットでは必要なことではありませんが、通常 state_derivative_fn を時間に依存させると有利です。ここでは、t をネットワークの入力に連結しています。

class MLP_ODE(snt.Module):
  """Multi-layer NN ode_fn."""
  def __init__(self, num_hidden, num_layers, num_output, name='mlp_ode'):
    super(MLP_ODE, self).__init__(name=name)
    self._num_hidden = num_hidden
    self._num_output = num_output
    self._num_layers = num_layers
    self._modules = []
    for _ in range(self._num_layers - 1):
      self._modules.append(snt.Linear(self._num_hidden))
      self._modules.append(tf.math.tanh)
    self._modules.append(snt.Linear(self._num_output))
    self._model = snt.Sequential(self._modules)

  def __call__(self, t, inputs):
    inputs = tf.concat([tf.broadcast_to(t, inputs.shape), inputs], -1)
    return self._model(inputs)

Model and training parameters

LR = 1e-2 
NUM_EPOCHS = 80 
STACKED_FFJORDS = 4 
NUM_HIDDEN = 8 
NUM_LAYERS = 3 
NUM_OUTPUT = 2

次に、FFJORD バイジェクターのスタックを構築します。バイジェクターごとに ode_solve_fn と trace_augmentation_fn があり、独自の state_derivative_fn モデルであるため、これらは様々な変換のシーケンスです。

Building bijector

solver = tfp.math.ode.DormandPrince(atol=1e-5)
ode_solve_fn = solver.solve
trace_augmentation_fn = tfb.ffjord.trace_jacobian_exact

bijectors = []
for _ in range(STACKED_FFJORDS):
  mlp_model = MLP_ODE(NUM_HIDDEN, NUM_LAYERS, NUM_OUTPUT)
  next_ffjord = tfb.FFJORD(
      state_time_derivative_fn=mlp_model,ode_solve_fn=ode_solve_fn,
      trace_augmentation_fn=trace_augmentation_fn)
  bijectors.append(next_ffjord)

stacked_ffjord = tfb.Chain(bijectors[::-1])

これで、base_distribution を stacked_ffjord バイジェクターでラップしてできた TransformedDistribution を使用することができます。

transformed_distribution = tfd.TransformedDistribution(
    distribution=base_distribution, bijector=stacked_ffjord)

ここで、トレーニングの手順を定義します。単純に、データの負の対数尤度を最小化します。

Training

@tf.function
def train_step(optimizer, target_sample):
  with tf.GradientTape() as tape:
    loss = -tf.reduce_mean(transformed_distribution.log_prob(target_sample))
  variables = tape.watched_variables()
  gradients = tape.gradient(loss, variables)
  optimizer.apply(gradients, variables)
  return loss

Samples

@tf.function
def get_samples():
  base_distribution_samples = base_distribution.sample(SAMPLE_SIZE)
  transformed_samples = transformed_distribution.sample(SAMPLE_SIZE)
  return base_distribution_samples, transformed_samples


@tf.function
def get_transformed_grid():
  transformed_grid = stacked_ffjord.forward(grid)
  return transformed_grid

基底分布と変換した分布のサンプルをプロットします。

evaluation_samples = []
base_samples, transformed_samples = get_samples()
transformed_grid = get_transformed_grid()
evaluation_samples.append((base_samples, transformed_samples, transformed_grid))

WARNING:tensorflow:From /usr/local/lib/python3.6/dist-packages/tensorflow/python/ops/resource_variable_ops.py:1817: calling BaseResourceVariable.__init__ (from tensorflow.python.ops.resource_variable_ops) with constraint is deprecated and will be removed in a future version.
Instructions for updating:
If using Keras pass *_constraint arguments to layers.

panel_id = 0
panel_data = evaluation_samples[panel_id]
fig, axarray = plt.subplots(
  1, 4, figsize=(16, 6))
plot_panel(
    grid, panel_data[0], panel_data[2], panel_data[1], moons, axarray, False)
plt.tight_layout()

png

learning_rate = tf.Variable(LR, trainable=False)
optimizer = snt.optimizers.Adam(learning_rate)

for epoch in tqdm.trange(NUM_EPOCHS // 2):
  base_samples, transformed_samples = get_samples()
  transformed_grid = get_transformed_grid()
  evaluation_samples.append(
      (base_samples, transformed_samples, transformed_grid))
  for batch in moons_ds:
    _ = train_step(optimizer, batch)

0%|          | 0/40 [00:00<?, ?it/s]
WARNING:tensorflow:From /usr/local/lib/python3.6/dist-packages/tensorflow_probability/python/math/ode/base.py:350: calling while_loop_v2 (from tensorflow.python.ops.control_flow_ops) with back_prop=False is deprecated and will be removed in a future version.
Instructions for updating:
back_prop=False is deprecated. Consider using tf.stop_gradient instead.
Instead of:
results = tf.while_loop(c, b, vars, back_prop=False)
Use:
results = tf.nest.map_structure(tf.stop_gradient, tf.while_loop(c, b, vars))
100%|██████████| 40/40 [07:00<00:00, 10.52s/it]

panel_id = -1
panel_data = evaluation_samples[panel_id]
fig, axarray = plt.subplots(
  1, 4, figsize=(16, 6))
plot_panel(grid, panel_data[0], panel_data[2], panel_data[1], moons, axarray)
plt.tight_layout()

png

学習率を使ってより長い期間トレーニングすると、さらに改善します。

この例では説明されていませんが、FFJORD バイジェクターはハッチンソンの確率的トレース推定法をサポートしています。特定の Estimator は、trace_augmentation_fn を通じて提供されます。同様に、カスタム ode_solve_fn を定義することで、別のインテグレーターを使用することも可能です。