אופטימיזציה בהסתברות TensorFlow

תַקצִיר

בקולאב זה אנו מדגימים כיצד להשתמש בכלי האופטימיזציה השונים המיושמים ב- TensorFlow Probability.

תלות ותנאים מוקדמים

יְבוּא

החלף קוד

%matplotlib inline


import contextlib
import functools
import os
import time

import numpy as np
import pandas as pd
import scipy as sp
from six.moves import urllib
from sklearn import preprocessing

import tensorflow.compat.v2 as tf
tf.enable_v2_behavior()

import tensorflow_probability as tfp

אופטימיזציית BFGS ו-L-BFGS

שיטות קווזי ניוטון הן סוג של אלגוריתם אופטימיזציה פופולרי מסדר ראשון. שיטות אלו משתמשות בקירוב ודאי חיובי להסיאן המדויק כדי למצוא את כיוון החיפוש.

האלגוריתם Broyden-פלטשר-גולדפרב-Shanno ( BFGS ) הוא יישום ספציפי של הרעיון הכללי הזה. הוא החלים והוא השיטה בחירה של בעיות בינוניות שבם השיפוע הוא רציף בכול מקום (למשל ליניארי רגרסיה עם \(L_2\) עונש).

L-BFGS היא גרסה מוגבלת של זיכרון BFGS כי הוא שימושי לפתרון בעיות גדולות יותר אשר מטריצות הסיאן לא ניתן לחשב במחיר סביר או לא דליל. במקום לאחסן צפוף מלא \(n \times n\) קירובים של מטריצות הסיאן, הם חוסכים רק כמה וקטורים באורך \(n\) המייצגים קירובים אלה במרומז.

פונקציות עוזר

החלף קוד

CACHE_DIR = os.path.join(os.sep, 'tmp', 'datasets')


def make_val_and_grad_fn(value_fn):
  @functools.wraps(value_fn)
  def val_and_grad(x):
    return tfp.math.value_and_gradient(value_fn, x)
  return val_and_grad


@contextlib.contextmanager
def timed_execution():
  t0 = time.time()
  yield
  dt = time.time() - t0
  print('Evaluation took: %f seconds' % dt)


def np_value(tensor):
  """Get numpy value out of possibly nested tuple of tensors."""
  if isinstance(tensor, tuple):
    return type(tensor)(*(np_value(t) for t in tensor))
  else:
    return tensor.numpy()

def run(optimizer):
  """Run an optimizer and measure it's evaluation time."""
  optimizer()  # Warmup.
  with timed_execution():
    result = optimizer()
  return np_value(result)

L-BFGS על פונקציה ריבועית פשוטה

# Fix numpy seed for reproducibility
np.random.seed(12345)

# The objective must be supplied as a function that takes a single
# (Tensor) argument and returns a tuple. The first component of the
# tuple is the value of the objective at the supplied point and the
# second value is the gradient at the supplied point. The value must
# be a scalar and the gradient must have the same shape as the
# supplied argument.

# The `make_val_and_grad_fn` decorator helps transforming a function
# returning the objective value into one that returns both the gradient
# and the value. It also works for both eager and graph mode.

dim = 10
minimum = np.ones([dim])
scales = np.exp(np.random.randn(dim))

@make_val_and_grad_fn
def quadratic(x):
  return tf.reduce_sum(scales * (x - minimum) ** 2, axis=-1)

# The minimization routine also requires you to supply an initial
# starting point for the search. For this example we choose a random
# starting point.
start = np.random.randn(dim)

# Finally an optional argument called tolerance let's you choose the
# stopping point of the search. The tolerance specifies the maximum
# (supremum) norm of the gradient vector at which the algorithm terminates.
# If you don't have a specific need for higher or lower accuracy, leaving
# this parameter unspecified (and hence using the default value of 1e-8)
# should be good enough.
tolerance = 1e-10

@tf.function
def quadratic_with_lbfgs():
  return tfp.optimizer.lbfgs_minimize(
    quadratic,
    initial_position=tf.constant(start),
    tolerance=tolerance)

results = run(quadratic_with_lbfgs)

# The optimization results contain multiple pieces of information. The most
# important fields are: 'converged' and 'position'.
# Converged is a boolean scalar tensor. As the name implies, it indicates
# whether the norm of the gradient at the final point was within tolerance.
# Position is the location of the minimum found. It is important to check
# that converged is True before using the value of the position.

print('L-BFGS Results')
print('Converged:', results.converged)
print('Location of the minimum:', results.position)
print('Number of iterations:', results.num_iterations)

Evaluation took: 0.014586 seconds
L-BFGS Results
Converged: True
Location of the minimum: [1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.]
Number of iterations: 10

אותה בעיה עם BFGS

@tf.function
def quadratic_with_bfgs():
  return tfp.optimizer.bfgs_minimize(
    quadratic,
    initial_position=tf.constant(start),
    tolerance=tolerance)

results = run(quadratic_with_bfgs)

print('BFGS Results')
print('Converged:', results.converged)
print('Location of the minimum:', results.position)
print('Number of iterations:', results.num_iterations)

Evaluation took: 0.010468 seconds
BFGS Results
Converged: True
Location of the minimum: [1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.]
Number of iterations: 10

רגרסיה לינארית עם עונש L1: נתוני סרטן הערמונית

דוגמא מתוך הספר: האלמנטים של למידה סטטיסטית, כריית נתונים, הסקה, וחיזוי ידי טרבור Hastie, רוברט Tibshirani וג'רום פרידמן.

שים לב שזו בעיית אופטימיזציה עם עונש L1.

השג מערך נתונים

def cache_or_download_file(cache_dir, url_base, filename):
  """Read a cached file or download it."""
  filepath = os.path.join(cache_dir, filename)
  if tf.io.gfile.exists(filepath):
    return filepath
  if not tf.io.gfile.exists(cache_dir):
    tf.io.gfile.makedirs(cache_dir)
  url = url_base + filename
  print("Downloading {url} to {filepath}.".format(url=url, filepath=filepath))
  urllib.request.urlretrieve(url, filepath)
  return filepath

def get_prostate_dataset(cache_dir=CACHE_DIR):
  """Download the prostate dataset and read as Pandas dataframe."""
  url_base = 'http://web.stanford.edu/~hastie/ElemStatLearn/datasets/'
  return pd.read_csv(
      cache_or_download_file(cache_dir, url_base, 'prostate.data'),
      delim_whitespace=True, index_col=0)

prostate_df = get_prostate_dataset()

Downloading http://web.stanford.edu/~hastie/ElemStatLearn/datasets/prostate.data to /tmp/datasets/prostate.data.

הגדרת בעיה

np.random.seed(12345)

feature_names = ['lcavol', 'lweight',   'age',  'lbph', 'svi', 'lcp',   
                 'gleason', 'pgg45']

# Normalize features
scalar = preprocessing.StandardScaler()
prostate_df[feature_names] = pd.DataFrame(
    scalar.fit_transform(
        prostate_df[feature_names].astype('float64')))

# select training set
prostate_df_train = prostate_df[prostate_df.train == 'T'] 

# Select features and labels 
features = prostate_df_train[feature_names]
labels =  prostate_df_train[['lpsa']]

# Create tensors
feat = tf.constant(features.values, dtype=tf.float64)
lab = tf.constant(labels.values, dtype=tf.float64)

dtype = feat.dtype

regularization = 0 # regularization parameter
dim = 8 # number of features

# We pick a random starting point for the search
start = np.random.randn(dim + 1)

def regression_loss(params):
  """Compute loss for linear regression model with L1 penalty

  Args:
    params: A real tensor of shape [dim + 1]. The zeroth component
      is the intercept term and the rest of the components are the
      beta coefficients.

  Returns:
    The mean square error loss including L1 penalty.
  """
  params = tf.squeeze(params)
  intercept, beta  = params[0], params[1:]
  pred = tf.matmul(feat, tf.expand_dims(beta, axis=-1)) + intercept
  mse_loss = tf.reduce_sum(
      tf.cast(
        tf.losses.mean_squared_error(y_true=lab, y_pred=pred), tf.float64))
  l1_penalty = regularization * tf.reduce_sum(tf.abs(beta))
  total_loss = mse_loss + l1_penalty
  return total_loss

פתרון עם L-BFGS

התאמה באמצעות L-BFGS. למרות שהעונש על L1 מציג אי רציפות נגזרות, בפועל, L-BFGS עדיין עובד די טוב.

@tf.function
def l1_regression_with_lbfgs():
  return tfp.optimizer.lbfgs_minimize(
    make_val_and_grad_fn(regression_loss),
    initial_position=tf.constant(start),
    tolerance=1e-8)

results = run(l1_regression_with_lbfgs)
minimum = results.position
fitted_intercept = minimum[0]
fitted_beta = minimum[1:]

print('L-BFGS Results')
print('Converged:', results.converged)
print('Intercept: Fitted ({})'.format(fitted_intercept))
print('Beta:      Fitted {}'.format(fitted_beta))

Evaluation took: 0.017987 seconds
L-BFGS Results
Converged: True
Intercept: Fitted (2.3879985744556484)
Beta:      Fitted [ 0.68626215  0.28193532 -0.17030254  0.10799274  0.33634988 -0.24888523
  0.11992237  0.08689026]

פתרון עם Nelder Mead

שיטת Nelder Mead היא אחת שיטות המזעור חינם הנגזרת הפופולריות ביותר. האופטימיזציה הזו לא משתמשת במידע מעברי ואינו מניח הנחות לגבי הדיפרנציאליות של פונקציית המטרה; לכן הוא מתאים לפונקציות אובייקטיביות לא חלקות, למשל בעיות אופטימיזציה עם עונש L1.

לקבלת בעיית האופטימיזציה ב \(n\)-dimensions שהוא מקיים מערכת של\(n+1\) פתרונות מועמדים כי היקף סימפלקס הלא-מנוון. זה משנה ברציפות את הסימפלקס בהתבסס על קבוצה של מהלכים (השתקפות, התרחבות, הצטמקות והתכווצות) תוך שימוש בערכי הפונקציה בכל אחד מהקודקודים.

# Nelder mead expects an initial_vertex of shape [n + 1, 1].
initial_vertex = tf.expand_dims(tf.constant(start, dtype=dtype), axis=-1)

@tf.function
def l1_regression_with_nelder_mead():
  return tfp.optimizer.nelder_mead_minimize(
      regression_loss,
      initial_vertex=initial_vertex,
      func_tolerance=1e-10,
      position_tolerance=1e-10)

results = run(l1_regression_with_nelder_mead)
minimum = results.position.reshape([-1])
fitted_intercept = minimum[0]
fitted_beta = minimum[1:]

print('Nelder Mead Results')
print('Converged:', results.converged)
print('Intercept: Fitted ({})'.format(fitted_intercept))
print('Beta:      Fitted {}'.format(fitted_beta))

Evaluation took: 0.325643 seconds
Nelder Mead Results
Converged: True
Intercept: Fitted (2.387998456121595)
Beta:      Fitted [ 0.68626266  0.28193456 -0.17030291  0.10799375  0.33635132 -0.24888703
  0.11992244  0.08689023]

רגרסיה לוגיסטית עם עונש L2

עבור דוגמה זו, אנו יוצרים מערך נתונים סינתטי לסיווג ומשתמשים במייעל L-BFGS כדי להתאים את הפרמטרים.

np.random.seed(12345)

dim = 5  # The number of features
n_obs = 10000  # The number of observations

betas = np.random.randn(dim)  # The true beta
intercept = np.random.randn()  # The true intercept

features = np.random.randn(n_obs, dim)  # The feature matrix
probs = sp.special.expit(
    np.matmul(features, np.expand_dims(betas, -1)) + intercept)

labels = sp.stats.bernoulli.rvs(probs)  # The true labels

regularization = 0.8
feat = tf.constant(features)
lab = tf.constant(labels, dtype=feat.dtype)

@make_val_and_grad_fn
def negative_log_likelihood(params):
  """Negative log likelihood for logistic model with L2 penalty

  Args:
    params: A real tensor of shape [dim + 1]. The zeroth component
      is the intercept term and the rest of the components are the
      beta coefficients.

  Returns:
    The negative log likelihood plus the penalty term. 
  """
  intercept, beta  = params[0], params[1:]
  logit = tf.matmul(feat, tf.expand_dims(beta, -1)) + intercept
  log_likelihood = tf.reduce_sum(tf.nn.sigmoid_cross_entropy_with_logits(
      labels=lab, logits=logit))
  l2_penalty = regularization * tf.reduce_sum(beta ** 2)
  total_loss = log_likelihood + l2_penalty
  return total_loss

start = np.random.randn(dim + 1)

@tf.function
def l2_regression_with_lbfgs():
  return tfp.optimizer.lbfgs_minimize(
      negative_log_likelihood,
      initial_position=tf.constant(start),
      tolerance=1e-8)

results = run(l2_regression_with_lbfgs)
minimum = results.position
fitted_intercept = minimum[0]
fitted_beta = minimum[1:]

print('Converged:', results.converged)
print('Intercept: Fitted ({}), Actual ({})'.format(fitted_intercept, intercept))
print('Beta:\n\tFitted {},\n\tActual {}'.format(fitted_beta, betas))

Evaluation took: 0.056751 seconds
Converged: True
Intercept: Fitted (1.4111415084244365), Actual (1.3934058329729904)
Beta:
    Fitted [-0.18016612  0.53121578 -0.56420632 -0.5336374   2.00499675],
    Actual [-0.20470766  0.47894334 -0.51943872 -0.5557303   1.96578057]

תמיכת אצווה

גם BFGS וגם L-BFGS תומכים בחישוב אצווה, למשל כדי לייעל פונקציה בודדת מנקודות התחלה רבות ושונות; או פונקציות פרמטריות מרובות מנקודה אחת.

פונקציה אחת, מספר נקודות התחלה

הפונקציה של הימלבלוי היא מקרה מבחן אופטימיזציה סטנדרטי. הפונקציה ניתנת על ידי:

\[f(x, y) = (x^2 + y - 11)^2 + (x + y^2 - 7)^2\]

לפונקציה יש ארבע מינימות הממוקמות ב:

• (3, 2),
• (-2.805118, 3.131312),
• (-3.779310, -3.283186),
• (3.584428, -1.848126).

ניתן להגיע לכל המינימום הללו מנקודות התחלה מתאימות.

# The function to minimize must take as input a tensor of shape [..., n]. In
# this n=2 is the size of the domain of the input and [...] are batching
# dimensions. The return value must be of shape [...], i.e. a batch of scalars
# with the objective value of the function evaluated at each input point.

@make_val_and_grad_fn
def himmelblau(coord):
  x, y = coord[..., 0], coord[..., 1]
  return (x * x + y - 11) ** 2 + (x + y * y - 7) ** 2

starts = tf.constant([[1, 1],
                      [-2, 2],
                      [-1, -1],
                      [1, -2]], dtype='float64')

# The stopping_condition allows to further specify when should the search stop.
# The default, tfp.optimizer.converged_all, will proceed until all points have
# either converged or failed. There is also a tfp.optimizer.converged_any to
# stop as soon as the first point converges, or all have failed.

@tf.function
def batch_multiple_starts():
  return tfp.optimizer.lbfgs_minimize(
      himmelblau, initial_position=starts,
      stopping_condition=tfp.optimizer.converged_all,
      tolerance=1e-8)

results = run(batch_multiple_starts)
print('Converged:', results.converged)
print('Minima:', results.position)

Evaluation took: 0.019095 seconds
Converged: [ True  True  True  True]
Minima: [[ 3.          2.        ]
 [-2.80511809  3.13131252]
 [-3.77931025 -3.28318599]
 [ 3.58442834 -1.84812653]]

פונקציות מרובות

למטרות הדגמה, בדוגמה זו אנו מייעלים בו-זמנית מספר רב של קערות ריבועיות שנוצרות באופן אקראי במידות גבוהות.

np.random.seed(12345)

dim = 100
batches = 500
minimum = np.random.randn(batches, dim)
scales = np.exp(np.random.randn(batches, dim))

@make_val_and_grad_fn
def quadratic(x):
  return tf.reduce_sum(input_tensor=scales * (x - minimum)**2, axis=-1)

# Make all starting points (1, 1, ..., 1). Note not all starting points need
# to be the same.
start = tf.ones((batches, dim), dtype='float64')

@tf.function
def batch_multiple_functions():
  return tfp.optimizer.lbfgs_minimize(
      quadratic, initial_position=start,
      stopping_condition=tfp.optimizer.converged_all,
      max_iterations=100,
      tolerance=1e-8)

results = run(batch_multiple_functions)
print('All converged:', np.all(results.converged))
print('Largest error:', np.max(results.position - minimum))

Evaluation took: 1.994132 seconds
All converged: True
Largest error: 4.4131473142527966e-08