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このドキュメントでは、Li et al による 2020 年 3 月 16 日の同名の論文に基づいて TensorFlow Probability のモデルを作成します。TensorFlow Probability プラットフォームで本論文の著者の方法と結果を忠実に再現し、現代の疫学モデリングの設定における TFP の機能の一部を紹介します。TensorFlow を使用すると、元の Matlab コードに比べて約 10 倍スピードアップします。また、TensorFlow Probability はベクトル化されたバッチ計算を広くサポートしているため、数百の独立したレプリケーションに拡張できます。
元の論文
Ruiyun Li, Sen Pei, Bin Chen, Yimeng Song, Tao Zhang, Wan Yang, and Jeffrey Shaman. Substantial undocumented infection facilitates the rapid dissemination of novel coronavirus (SARS-CoV2). (2020), doi: https://doi.org/10.1126/science.abb3221 .
要旨: 「報告されていない新規コロナウイルス（SARS-CoV2）感染の有病率と伝染性の推定は、この病気の全体的な有病率とパンデミックの可能性を理解するために重要です。モビリティデータ、ネットワーク化された動的メタ個体群モデル、ベイズ推定と組み合わせて、中国内で報告された感染の観察結果を使用し、報告されていない感染の割合やその伝染性など、SARS-CoV2 に関連する重大な疫学的特性を推測します。2020 年 1 月 23 日の渡航禁止令以前は、すべての感染症の 86％ が報告されていなかったと推定されます（95% CI: [82%–90%]）。 一人当たり、報告されていない感染の伝播率は報告された感染の 55％（[46％–62％]）でしたが、その数が多いため、報告されていない感染が報告された症例の 79％ の感染源でした。これらの調査結果は、SARS-CoV2 の急速な地理的な拡散を説明し、このウイルスの封じ込めが特に困難であることを示しています。」
コードとデータへの Github リンク。
概要
本モデルは疾患のコンパートメントモデルであり、「感受性」、「曝露」（感染しているが他の人への感染性はない）、「報告されていない感染性」、および「最終的に報告された感染性」の区画があります。このモデルには、2 つの注目すべき点があります。375 の中国の都市ごとに別々の区画があり、人々が 1 つの都市から別の都市にどのように移動するかについての仮定があります。また、感染の報告が遅れるため、 \(t\) 日目に「最終的に報告された感染性」になった場合は、確率的な後日まで、観察された症例と見なされません。
このモデルは、報告されていない症例は軽度なために報告されていない、そして、その場合、他の人への感染率が低いことを前提としています。元の論文での重要な主なパラメータは、報告されていない症例の割合です。これは、既存の感染の程度と報告されていない感染が病気の蔓延に及ぼす影響を推定するためです。
このコラボは、ボトムアップスタイルのコードウォークスルーとして構成されています。以下を見ていきます。
- データを取り込んで簡単に調べる
- モデルの状態空間とダイナミクスを定義する
- Li et al に従って、モデルで推論を行うための一連の関数を構築する
- それらを呼び出して、結果を調べます。 ネタバレ：結果は論文の結果と同じです。
インストールと Python のインポート
pip3 install -q tf-nightly tfp-nightly
import collections
import io
import requests
import time
import zipfile
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import pandas as pd
import tensorflow.compat.v2 as tf
import tensorflow_probability as tfp
from tensorflow_probability.python.internal import samplers
tfd = tfp.distributions
tfes = tfp.experimental.sequential
データのインポート
github からデータをインポートして、その一部を調べてみましょう。
r = requests.get('https://raw.githubusercontent.com/SenPei-CU/COVID-19/master/Data.zip')
z = zipfile.ZipFile(io.BytesIO(r.content))
z.extractall('/tmp/')
raw_incidence = pd.read_csv('/tmp/data/Incidence.csv')
raw_mobility = pd.read_csv('/tmp/data/Mobility.csv')
raw_population = pd.read_csv('/tmp/data/pop.csv')
以下は、1 日あたりの生の発生数です。23 日に渡航禁止令が発令されたため、最初の 14 日間（1 月 10 日から 1 月 23 日）に最も関心があります。この論文では、1 月 10〜23 日と 1 月 23 日以降を別々に、さまざまなパラメータでモデル化しています。 ここでは期間を最初の期間に制限します。
raw_incidence.drop('Date', axis=1) # The 'Date' column is all 1/18/21
# Luckily the days are in order, starting on January 10th, 2020.
武漢の発生数を確認します。
plt.plot(raw_incidence.Wuhan, '.-')
plt.title('Wuhan incidence counts over 1/10/20 - 02/08/20')
plt.show()
次に初期人口の数を確認します。
raw_population
また、どのエントリが武漢であるかを確認して記録します。
raw_population['City'][169]
'Wuhan'
WUHAN_IDX = 169
ここに、異なる都市間のモビリティマトリックスが表示されます。これは、最初の 14 日間に異なる都市間を移動する人々の数のプロキシです。これは、2018 年の旧正月シーズンに Tencent から提供された GPS データから派生しています。Li et al は、2020 年シーズン中のモビリティを、未知の（推論の対象となる）定数係数 \(\theta\) にこれを掛けたものとしてモデル化します。
raw_mobility
最後に、これらすべてを前処理して、使えるように numpy 配列にします。
# The given populations are only "initial" because of intercity mobility during
# the holiday season.
initial_population = raw_population['Population'].to_numpy().astype(np.float32)
モビリティデータを [L, L, T] 型のテンソルに変換します。ここで、L は位置の数、T は時間ステップの数です。
daily_mobility_matrices = []
for i in range(1, 15):
day_mobility = raw_mobility[raw_mobility['Day'] == i]
# Make a matrix of daily mobilities.
z = pd.crosstab(
day_mobility.Origin,
day_mobility.Destination,
values=day_mobility['Mobility Index'], aggfunc='sum', dropna=False)
# Include every city, even if there are no rows for some in the raw data on
# some day. This uses the sort order of `raw_population`.
z = z.reindex(index=raw_population['City'], columns=raw_population['City'],
fill_value=0)
# Finally, fill any missing entries with 0. This means no mobility.
z = z.fillna(0)
daily_mobility_matrices.append(z.to_numpy())
mobility_matrix_over_time = np.stack(daily_mobility_matrices, axis=-1).astype(
np.float32)
最後に、観察された感染の [L, T] 表を作成します。
# Remove the date parameter and take the first 14 days.
observed_daily_infectious_count = raw_incidence.to_numpy()[:14, 1:]
observed_daily_infectious_count = np.transpose(
observed_daily_infectious_count).astype(np.float32)
そして、希望する形状になったことを再確認します。都市数は 375、期間は 14 日間です。
print('Mobility Matrix over time should have shape (375, 375, 14): {}'.format(
mobility_matrix_over_time.shape))
print('Observed Infectious should have shape (375, 14): {}'.format(
observed_daily_infectious_count.shape))
print('Initial population should have shape (375): {}'.format(
initial_population.shape))
Mobility Matrix over time should have shape (375, 375, 14): (375, 375, 14) Observed Infectious should have shape (375, 14): (375, 14) Initial population should have shape (375): (375,)
状態とパラメータの定義
モデルの定義を始めましょう。再現しているモデルは、SEIR モデルの変形です。ここでは、次の時変状態があります。
- \(S\): 各都市の感染する可能性のある人の数。
- \(E\): 各都市でこの病気に曝露しているがまだ感染性がない人の数。生物学的には、これは疾患することに相当し、すべての曝露された人々が最終的に感染性になります。
- \(I^u\): 感染性があるが報告されていない各都市の人の数。モデルでは、これは実際には「報告されることがない」ことを意味します。
- \(I^r\): 感染性があり、そのことが報告されている各都市の人の数。Li et al のモデルは遅延を報告しているため、\(I^r\) は実際には、「症例は将来のある時点で報告されるほど深刻である」に対応します。
以下に示すように、EAKF（Ensemble Adjustment Kalman Filter）を時間的に前方に実行することにより、これらの状態を推測します。EAKF の状態ベクトルは、これらの量ごとに 1 つの都市インデックス付きベクトルです。
モデルには、次の推定可能なグローバルな時不変パラメータがあります。
- \(\beta\): 報告された感染者による感染率。
- \(\mu\): 報告されていない感染者による相対的な感染率。これは、\(\mu \beta\) を掛けて取得します。
- \(\theta\): 都市間移動係数。これは、モビリティデータの過少報告（および2 018 年から 2020 年までの人口増加）を補正する 1 より大きい係数です。
- \(Z\): 平均潜伏期間（すなわち、「曝露」状態の期間）。
- \(\alpha\): これは、（最終的に）報告されるのに十分なほど深刻な感染の割合です。
- \(D\): 感染の平均期間（つまり、いずれかの「感染」状態の期間）。
状態の EAKF のイテレーションフィルタリングループを使用して、これらのパラメータの点推定を推測します。
また、モデルは、推論されていない定数にも依存します。
- \(M\): 都市間モビリティマトリックス。これは時変であり、与えられると推定します。前述のとおり、これは都市間の実際の人口移動を得るために、推測されたパラメータ \(\theta\) によりスケーリングされます。
- \(N\): 各都市の総人数。 初期母集団は与えられたとし、母集団の時間変化は移動度数 \(\theta M\) から計算されます。
まず、状態とパラメータを保持するためのデータ構造をいくつか作成します。
SEIRComponents = collections.namedtuple(
typename='SEIRComponents',
field_names=[
'susceptible', # S
'exposed', # E
'documented_infectious', # I^r
'undocumented_infectious', # I^u
# This is the count of new cases in the "documented infectious" compartment.
# We need this because we will introduce a reporting delay, between a person
# entering I^r and showing up in the observable case count data.
# This can't be computed from the cumulative `documented_infectious` count,
# because some portion of that population will move to the 'recovered'
# state, which we aren't tracking explicitly.
'daily_new_documented_infectious'])
ModelParams = collections.namedtuple(
typename='ModelParams',
field_names=[
'documented_infectious_tx_rate', # Beta
'undocumented_infectious_tx_relative_rate', # Mu
'intercity_underreporting_factor', # Theta
'average_latency_period', # Z
'fraction_of_documented_infections', # Alpha
'average_infection_duration' # D
]
)
また、パラメータの値に対する Li et al の境界をコーディングします。
PARAMETER_LOWER_BOUNDS = ModelParams(
documented_infectious_tx_rate=0.8,
undocumented_infectious_tx_relative_rate=0.2,
intercity_underreporting_factor=1.,
average_latency_period=2.,
fraction_of_documented_infections=0.02,
average_infection_duration=2.
)
PARAMETER_UPPER_BOUNDS = ModelParams(
documented_infectious_tx_rate=1.5,
undocumented_infectious_tx_relative_rate=1.,
intercity_underreporting_factor=1.75,
average_latency_period=5.,
fraction_of_documented_infections=1.,
average_infection_duration=5.
)
SEIR ダイナミクス
ここでは、パラメータと状態の関係を定義します。
Li et al の時間ダイナミクス方程式（補足資料、方程式 1〜5）は次のとおりです。
\(\frac{dS_i}{dt} = -\beta \frac{S_i I_i^r}{N_i} - \mu \beta \frac{S_i I_i^u}{N_i} + \theta \sum_k \frac{M_{ij} S_j}{N_j - I_j^r} - + \theta \sum_k \frac{M_{ji} S_j}{N_i - I_i^r}\)
\(\frac{dE_i}{dt} = \beta \frac{S_i I_i^r}{N_i} + \mu \beta \frac{S_i I_i^u}{N_i} -\frac{E_i}{Z} + \theta \sum_k \frac{M_{ij} E_j}{N_j - I_j^r} - + \theta \sum_k \frac{M_{ji} E_j}{N_i - I_i^r}\)
\(\frac{dI^r_i}{dt} = \alpha \frac{E_i}{Z} - \frac{I_i^r}{D}\)
\(\frac{dI^u_i}{dt} = (1 - \alpha) \frac{E_i}{Z} - \frac{I_i^u}{D} + \theta \sum_k \frac{M_{ij} I_j^u}{N_j - I_j^r} - + \theta \sum_k \frac{M_{ji} I^u_j}{N_i - I_i^r}\)
\(N_i = N_i + \theta \sum_j M_{ij} - \theta \sum_j M_{ji}\)
\(i\) と \(j\) の下付き文字は都市にインデックスを付けます。これらの方程式は、病気の時間変化をモデル化します。
- より多くの感染につながる感染者との接触
- 「曝露」状態から「感染性」状態の 1 つへの病気の進行。
- 「感染性」状態から回復への疾患の進行。これは、モデル化された集団からの除去によってモデル化されます。
- 曝露された、または報告されていない感染者を含む、都市間の移動
- 都市間の移動による毎日の都市人口の時間変化
Li et al に従って、最終的に報告されるほど深刻な症例を持つ人々は都市間を移動しないと仮定します。
また、Li et al に従って、これらの変化を項ごとのポアソンノイズの影響を受けるものとして扱います。つまり、各項は実際にはポアソンのレートであり、サンプルから真の変化が得られます。ポアソンサンプルを（加算するのではなく）減算してもポアソン分布の結果が得られないため、ポアソンノイズは項ごとに異なります。
これらの変化を古典的な 4 次のルンゲクッタ法積分器に合わせて進化させますが、最初にそれらを計算する関数を定義します（ポアソンノイズのサンプリングを含む）。
def sample_state_deltas(
state, population, mobility_matrix, params, seed, is_deterministic=False):
"""Computes one-step change in state, including Poisson sampling.
Note that this is coded to support vectorized evaluation on arbitrary-shape
batches of states. This is useful, for example, for running multiple
independent replicas of this model to compute credible intervals for the
parameters. We refer to the arbitrary batch shape with the conventional
`B` in the parameter documentation below. This function also, of course,
supports broadcasting over the batch shape.
Args:
state: A `SEIRComponents` tuple with fields Tensors of shape
B + [num_locations] giving the current disease state.
population: A Tensor of shape B + [num_locations] giving the current city
populations.
mobility_matrix: A Tensor of shape B + [num_locations, num_locations] giving
the current baseline inter-city mobility.
params: A `ModelParams` tuple with fields Tensors of shape B giving the
global parameters for the current EAKF run.
seed: Initial entropy for pseudo-random number generation. The Poisson
sampling is repeatable by supplying the same seed.
is_deterministic: A `bool` flag to turn off Poisson sampling if desired.
Returns:
delta: A `SEIRComponents` tuple with fields Tensors of shape
B + [num_locations] giving the one-day changes in the state, according
to equations 1-4 above (including Poisson noise per Li et al).
"""
undocumented_infectious_fraction = state.undocumented_infectious / population
documented_infectious_fraction = state.documented_infectious / population
# Anyone not documented as infectious is considered mobile
mobile_population = (population - state.documented_infectious)
def compute_outflow(compartment_population):
raw_mobility = tf.linalg.matvec(
mobility_matrix, compartment_population / mobile_population)
return params.intercity_underreporting_factor * raw_mobility
def compute_inflow(compartment_population):
raw_mobility = tf.linalg.matmul(
mobility_matrix,
(compartment_population / mobile_population)[..., tf.newaxis],
transpose_a=True)
return params.intercity_underreporting_factor * tf.squeeze(
raw_mobility, axis=-1)
# Helper for sampling the Poisson-variate terms.
seeds = samplers.split_seed(seed, n=11)
if is_deterministic:
def sample_poisson(rate):
return rate
else:
def sample_poisson(rate):
return tfd.Poisson(rate=rate).sample(seed=seeds.pop())
# Below are the various terms called U1-U12 in the paper. We combined the
# first two, which should be fine; both are poisson so their sum is too, and
# there's no risk (as there could be in other terms) of going negative.
susceptible_becoming_exposed = sample_poisson(
state.susceptible *
(params.documented_infectious_tx_rate *
documented_infectious_fraction +
(params.undocumented_infectious_tx_relative_rate *
params.documented_infectious_tx_rate) *
undocumented_infectious_fraction)) # U1 + U2
susceptible_population_inflow = sample_poisson(
compute_inflow(state.susceptible)) # U3
susceptible_population_outflow = sample_poisson(
compute_outflow(state.susceptible)) # U4
exposed_becoming_documented_infectious = sample_poisson(
params.fraction_of_documented_infections *
state.exposed / params.average_latency_period) # U5
exposed_becoming_undocumented_infectious = sample_poisson(
(1 - params.fraction_of_documented_infections) *
state.exposed / params.average_latency_period) # U6
exposed_population_inflow = sample_poisson(
compute_inflow(state.exposed)) # U7
exposed_population_outflow = sample_poisson(
compute_outflow(state.exposed)) # U8
documented_infectious_becoming_recovered = sample_poisson(
state.documented_infectious /
params.average_infection_duration) # U9
undocumented_infectious_becoming_recovered = sample_poisson(
state.undocumented_infectious /
params.average_infection_duration) # U10
undocumented_infectious_population_inflow = sample_poisson(
compute_inflow(state.undocumented_infectious)) # U11
undocumented_infectious_population_outflow = sample_poisson(
compute_outflow(state.undocumented_infectious)) # U12
# The final state_deltas
return SEIRComponents(
# Equation [1]
susceptible=(-susceptible_becoming_exposed +
susceptible_population_inflow +
-susceptible_population_outflow),
# Equation [2]
exposed=(susceptible_becoming_exposed +
-exposed_becoming_documented_infectious +
-exposed_becoming_undocumented_infectious +
exposed_population_inflow +
-exposed_population_outflow),
# Equation [3]
documented_infectious=(
exposed_becoming_documented_infectious +
-documented_infectious_becoming_recovered),
# Equation [4]
undocumented_infectious=(
exposed_becoming_undocumented_infectious +
-undocumented_infectious_becoming_recovered +
undocumented_infectious_population_inflow +
-undocumented_infectious_population_outflow),
# New to-be-documented infectious cases, subject to the delayed
# observation model.
daily_new_documented_infectious=exposed_becoming_documented_infectious)
これが積分器です。これは完全に標準的なものですが、PRNG シードを sample_state_deltas 関数に渡して、ルンゲクッタ法が要求する各部分ステップで独立したポアソンノイズを取得する点が異なります。
@tf.function(autograph=False)
def rk4_one_step(state, population, mobility_matrix, params, seed):
"""Implement one step of RK4, wrapped around a call to sample_state_deltas."""
# One seed for each RK sub-step
seeds = samplers.split_seed(seed, n=4)
deltas = tf.nest.map_structure(tf.zeros_like, state)
combined_deltas = tf.nest.map_structure(tf.zeros_like, state)
for a, b in zip([1., 2, 2, 1.], [6., 3., 3., 6.]):
next_input = tf.nest.map_structure(
lambda x, delta, a=a: x + delta / a, state, deltas)
deltas = sample_state_deltas(
next_input,
population,
mobility_matrix,
params,
seed=seeds.pop(), is_deterministic=False)
combined_deltas = tf.nest.map_structure(
lambda x, delta, b=b: x + delta / b, combined_deltas, deltas)
return tf.nest.map_structure(
lambda s, delta: s + tf.round(delta),
state, combined_deltas)
初期化
ここでは、論文からの初期化スキームを実装します。
Li et al に従い、私たちの推論スキームは、イテレーションフィルタリング外部ループ（IF-EAKF）に囲まれた、EAKF 内部ループになります。計算上、これは 3 種類の初期化が必要であることを意味します。
- 内部 EAKF の初期状態
- 最初の EAKF の初期パラメータでもある外部 IF の初期パラメータ
- 1 つの IF イテレーションから次のイテレーションへのパラメータの更新。これは、最初の EAKF 以外の各 EAKF の初期パラメータとして機能します。
def initialize_state(num_particles, num_batches, seed):
"""Initialize the state for a batch of EAKF runs.
Args:
num_particles: `int` giving the number of particles for the EAKF.
num_batches: `int` giving the number of independent EAKF runs to
initialize in a vectorized batch.
seed: PRNG entropy.
Returns:
state: A `SEIRComponents` tuple with Tensors of shape [num_particles,
num_batches, num_cities] giving the initial conditions in each
city, in each filter particle, in each batch member.
"""
num_cities = mobility_matrix_over_time.shape[-2]
state_shape = [num_particles, num_batches, num_cities]
susceptible = initial_population * np.ones(state_shape, dtype=np.float32)
documented_infectious = np.zeros(state_shape, dtype=np.float32)
daily_new_documented_infectious = np.zeros(state_shape, dtype=np.float32)
# Following Li et al, initialize Wuhan with up to 2000 people exposed
# and another up to 2000 undocumented infectious.
rng = np.random.RandomState(seed[0] % (2**31 - 1))
wuhan_exposed = rng.randint(
0, 2001, [num_particles, num_batches]).astype(np.float32)
wuhan_undocumented_infectious = rng.randint(
0, 2001, [num_particles, num_batches]).astype(np.float32)
# Also following Li et al, initialize cities adjacent to Wuhan with three
# days' worth of additional exposed and undocumented-infectious cases,
# as they may have traveled there before the beginning of the modeling
# period.
exposed = 3 * mobility_matrix_over_time[
WUHAN_IDX, :, 0] * wuhan_exposed[
..., np.newaxis] / initial_population[WUHAN_IDX]
undocumented_infectious = 3 * mobility_matrix_over_time[
WUHAN_IDX, :, 0] * wuhan_undocumented_infectious[
..., np.newaxis] / initial_population[WUHAN_IDX]
exposed[..., WUHAN_IDX] = wuhan_exposed
undocumented_infectious[..., WUHAN_IDX] = wuhan_undocumented_infectious
# Following Li et al, we do not remove the initial exposed and infectious
# persons from the susceptible population.
return SEIRComponents(
susceptible=tf.constant(susceptible),
exposed=tf.constant(exposed),
documented_infectious=tf.constant(documented_infectious),
undocumented_infectious=tf.constant(undocumented_infectious),
daily_new_documented_infectious=tf.constant(daily_new_documented_infectious))
def initialize_params(num_particles, num_batches, seed):
"""Initialize the global parameters for the entire inference run.
Args:
num_particles: `int` giving the number of particles for the EAKF.
num_batches: `int` giving the number of independent EAKF runs to
initialize in a vectorized batch.
seed: PRNG entropy.
Returns:
params: A `ModelParams` tuple with fields Tensors of shape
[num_particles, num_batches] giving the global parameters
to use for the first batch of EAKF runs.
"""
# We have 6 parameters. We'll initialize with a Sobol sequence,
# covering the hyper-rectangle defined by our parameter limits.
halton_sequence = tfp.mcmc.sample_halton_sequence(
dim=6, num_results=num_particles * num_batches, seed=seed)
halton_sequence = tf.reshape(
halton_sequence, [num_particles, num_batches, 6])
halton_sequences = tf.nest.pack_sequence_as(
PARAMETER_LOWER_BOUNDS, tf.split(
halton_sequence, num_or_size_splits=6, axis=-1))
def interpolate(minval, maxval, h):
return (maxval - minval) * h + minval
return tf.nest.map_structure(
interpolate,
PARAMETER_LOWER_BOUNDS, PARAMETER_UPPER_BOUNDS, halton_sequences)
def update_params(num_particles, num_batches,
prev_params, parameter_variance, seed):
"""Update the global parameters between EAKF runs.
Args:
num_particles: `int` giving the number of particles for the EAKF.
num_batches: `int` giving the number of independent EAKF runs to
initialize in a vectorized batch.
prev_params: A `ModelParams` tuple of the parameters used for the previous
EAKF run.
parameter_variance: A `ModelParams` tuple specifying how much to drift
each parameter.
seed: PRNG entropy.
Returns:
params: A `ModelParams` tuple with fields Tensors of shape
[num_particles, num_batches] giving the global parameters
to use for the next batch of EAKF runs.
"""
# Initialize near the previous set of parameters. This is the first step
# in Iterated Filtering.
seeds = tf.nest.pack_sequence_as(
prev_params, samplers.split_seed(seed, n=len(prev_params)))
return tf.nest.map_structure(
lambda x, v, seed: x + tf.math.sqrt(v) * tf.random.stateless_normal([
num_particles, num_batches, 1], seed=seed),
prev_params, parameter_variance, seeds)
遅延
このモデルの重要な点の 1 つは、感染が遅れて報告されるという事実を明確に考慮していることです。つまり、 \(t\) 日に \(E\) 区間から \(I^r\) 区間に移動した人は、後日まで、報告された観察可能な症例数として表示されない可能性があります。
遅延はガンマ分布であると想定しています。Li et al に従って、形状に1.85 を使用し、レートをパラメータ化して、9 日間の平均報告遅延を生成します。
def raw_reporting_delay_distribution(gamma_shape=1.85, reporting_delay=9.):
return tfp.distributions.Gamma(
concentration=gamma_shape, rate=gamma_shape / reporting_delay)
観測値は離散的であるため、生の（連続的な）遅延を最も近い日に切り上げます。また、データの範囲が有限であるため、1 人の遅延分布は、残りの日数に渡ってカテゴリに分類されます。したがって、代わりに多項遅延確率を事前に計算することにより、\(O(I^r)\) ガンマをサンプリングするよりも効率的に都市ごとの予測観測値を計算できます。
def reporting_delay_probs(num_timesteps, gamma_shape=1.85, reporting_delay=9.):
gamma_dist = raw_reporting_delay_distribution(gamma_shape, reporting_delay)
multinomial_probs = [gamma_dist.cdf(1.)]
for k in range(2, num_timesteps + 1):
multinomial_probs.append(gamma_dist.cdf(k) - gamma_dist.cdf(k - 1))
# For samples that are larger than T.
multinomial_probs.append(gamma_dist.survival_function(num_timesteps))
multinomial_probs = tf.stack(multinomial_probs)
return multinomial_probs
これらの遅延を、毎日記録されている新しい感染数に実際に適用するためのコードは次のとおりです。
def delay_reporting(
daily_new_documented_infectious, num_timesteps, t, multinomial_probs, seed):
# This is the distribution of observed infectious counts from the current
# timestep.
raw_delays = tfd.Multinomial(
total_count=daily_new_documented_infectious,
probs=multinomial_probs).sample(seed=seed)
# The last bucket is used for samples that are out of range of T + 1. Thus
# they are not going to be observable in this model.
clipped_delays = raw_delays[..., :-1]
# We can also remove counts that are such that t + i >= T.
clipped_delays = clipped_delays[..., :num_timesteps - t]
# We finally shift everything by t. That means prepending with zeros.
return tf.concat([
tf.zeros(
tf.concat([
tf.shape(clipped_delays)[:-1], [t]], axis=0),
dtype=clipped_delays.dtype),
clipped_delays], axis=-1)
推論
まず、推論のためのいくつかのデータ構造を定義します。
特に、推論を実行しながら状態とパラメータを共にパッケージ化するイテレーションフィルタリングを実行する必要があるので ParameterStatePair オブジェクトを定義します。
また、その他の情報をモデルにパッケージ化します。
ParameterStatePair = collections.namedtuple(
'ParameterStatePair', ['state', 'params'])
# Info that is tracked and mutated but should not have inference performed over.
SideInfo = collections.namedtuple(
'SideInfo', [
# Observations at every time step.
'observations_over_time',
'initial_population',
'mobility_matrix_over_time',
'population',
# Used for variance of measured observations.
'actual_reported_cases',
# Pre-computed buckets for the multinomial distribution.
'multinomial_probs',
'seed',
])
# Cities can not fall below this fraction of people
MINIMUM_CITY_FRACTION = 0.6
# How much to inflate the covariance by.
INFLATION_FACTOR = 1.1
INFLATE_FN = tfes.inflate_by_scaled_identity_fn(INFLATION_FACTOR)
これは、アンサンブルカルマンフィルタ用にパッケージ化された完全な観測モデルです。
興味深い点は、報告の遅延です（前述のように計算されます）。アップストリームモデルは、各時間ステップで各都市の daily_new_documented_infectious を発行します。
# We observe the observed infections.
def observation_fn(t, state_params, extra):
"""Generate reported cases.
Args:
state_params: A `ParameterStatePair` giving the current parameters
and state.
t: Integer giving the current time.
extra: A `SideInfo` carrying auxiliary information.
Returns:
observations: A Tensor of predicted observables, namely new cases
per city at time `t`.
extra: Update `SideInfo`.
"""
# Undo padding introduced in `inference`.
daily_new_documented_infectious = state_params.state.daily_new_documented_infectious[..., 0]
# Number of people that we have already committed to become
# observed infectious over time.
# shape: batch + [num_particles, num_cities, time]
observations_over_time = extra.observations_over_time
num_timesteps = observations_over_time.shape[-1]
seed, new_seed = samplers.split_seed(extra.seed, salt='reporting delay')
daily_delayed_counts = delay_reporting(
daily_new_documented_infectious, num_timesteps, t,
extra.multinomial_probs, seed)
observations_over_time = observations_over_time + daily_delayed_counts
extra = extra._replace(
observations_over_time=observations_over_time,
seed=new_seed)
# Actual predicted new cases, re-padded.
adjusted_observations = observations_over_time[..., t][..., tf.newaxis]
# Finally observations have variance that is a function of the true observations:
return tfd.MultivariateNormalDiag(
loc=adjusted_observations,
scale_diag=tf.math.maximum(
2., extra.actual_reported_cases[..., t][..., tf.newaxis] / 2.)), extra
ここでは、遷移ダイナミクスを定義します。セマンティック作業はすでに完了しています。ここでは、EAKF フレームワーク用にパッケージ化し、Li et al に従って、都市の人口が小さくなりすぎないようにクリップします。
def transition_fn(t, state_params, extra):
"""SEIR dynamics.
Args:
state_params: A `ParameterStatePair` giving the current parameters
and state.
t: Integer giving the current time.
extra: A `SideInfo` carrying auxiliary information.
Returns:
state_params: A `ParameterStatePair` predicted for the next time step.
extra: Updated `SideInfo`.
"""
mobility_t = extra.mobility_matrix_over_time[..., t]
new_seed, rk4_seed = samplers.split_seed(extra.seed, salt='Transition')
new_state = rk4_one_step(
state_params.state,
extra.population,
mobility_t,
state_params.params,
seed=rk4_seed)
# Make sure population doesn't go below MINIMUM_CITY_FRACTION.
new_population = (
extra.population + state_params.params.intercity_underreporting_factor * (
# Inflow
tf.reduce_sum(mobility_t, axis=-2) -
# Outflow
tf.reduce_sum(mobility_t, axis=-1)))
new_population = tf.where(
new_population < MINIMUM_CITY_FRACTION * extra.initial_population,
extra.initial_population * MINIMUM_CITY_FRACTION,
new_population)
extra = extra._replace(population=new_population, seed=new_seed)
# The Ensemble Kalman Filter code expects the transition function to return a distribution.
# As the dynamics and noise are encapsulated above, we construct a `JointDistribution` that when
# sampled, returns the values above.
new_state = tfd.JointDistributionNamed(
model=tf.nest.map_structure(lambda x: tfd.VectorDeterministic(x), new_state))
params = tfd.JointDistributionNamed(
model=tf.nest.map_structure(lambda x: tfd.VectorDeterministic(x), state_params.params))
state_params = tfd.JointDistributionNamed(
model=ParameterStatePair(state=new_state, params=params))
return state_params, extra
最後に、推論方法を定義します。これは 2 つのループであり、外側のループはイテレーションフィルタリングであり、内側のループは EAKF です。
# Use tf.function to speed up EAKF prediction and updates.
ensemble_kalman_filter_predict = tf.function(
tfes.ensemble_kalman_filter_predict, autograph=False)
ensemble_adjustment_kalman_filter_update = tf.function(
tfes.ensemble_adjustment_kalman_filter_update, autograph=False)
def inference(
num_ensembles,
num_batches,
num_iterations,
actual_reported_cases,
mobility_matrix_over_time,
seed=None,
# This is how much to reduce the variance by in every iterative
# filtering step.
variance_shrinkage_factor=0.9,
# Days before infection is reported.
reporting_delay=9.,
# Shape parameter of Gamma distribution.
gamma_shape_parameter=1.85):
"""Inference for the Shaman, et al. model.
Args:
num_ensembles: Number of particles to use for EAKF.
num_batches: Number of batches of IF-EAKF to run.
num_iterations: Number of iterations to run iterative filtering.
actual_reported_cases: `Tensor` of shape `[L, T]` where `L` is the number
of cities, and `T` is the timesteps.
mobility_matrix_over_time: `Tensor` of shape `[L, L, T]` which specifies the
mobility between locations over time.
variance_shrinkage_factor: Python `float`. How much to reduce the
variance each iteration of iterated filtering.
reporting_delay: Python `float`. How many days before the infection
is reported.
gamma_shape_parameter: Python `float`. Shape parameter of Gamma distribution
of reporting delays.
Returns:
result: A `ModelParams` with fields Tensors of shape [num_batches],
containing the inferred parameters at the final iteration.
"""
print('Starting inference.')
num_timesteps = actual_reported_cases.shape[-1]
params_per_iter = []
multinomial_probs = reporting_delay_probs(
num_timesteps, gamma_shape_parameter, reporting_delay)
seed = samplers.sanitize_seed(seed, salt='Inference')
for i in range(num_iterations):
start_if_time = time.time()
seeds = samplers.split_seed(seed, n=4, salt='Initialize')
if params_per_iter:
parameter_variance = tf.nest.map_structure(
lambda minval, maxval: variance_shrinkage_factor ** (
2 * i) * (maxval - minval) ** 2 / 4.,
PARAMETER_LOWER_BOUNDS, PARAMETER_UPPER_BOUNDS)
params_t = update_params(
num_ensembles,
num_batches,
prev_params=params_per_iter[-1],
parameter_variance=parameter_variance,
seed=seeds.pop())
else:
params_t = initialize_params(num_ensembles, num_batches, seed=seeds.pop())
state_t = initialize_state(num_ensembles, num_batches, seed=seeds.pop())
population_t = sum(x for x in state_t)
observations_over_time = tf.zeros(
[num_ensembles,
num_batches,
actual_reported_cases.shape[0], num_timesteps])
extra = SideInfo(
observations_over_time=observations_over_time,
initial_population=tf.identity(population_t),
mobility_matrix_over_time=mobility_matrix_over_time,
population=population_t,
multinomial_probs=multinomial_probs,
actual_reported_cases=actual_reported_cases,
seed=seeds.pop())
# Clip states
state_t = clip_state(state_t, population_t)
params_t = clip_params(params_t, seed=seeds.pop())
# Accrue the parameter over time. We'll be averaging that
# and using that as our MLE estimate.
params_over_time = tf.nest.map_structure(
lambda x: tf.identity(x), params_t)
state_params = ParameterStatePair(state=state_t, params=params_t)
eakf_state = tfes.EnsembleKalmanFilterState(
step=tf.constant(0), particles=state_params, extra=extra)
for j in range(num_timesteps):
seeds = samplers.split_seed(eakf_state.extra.seed, n=3)
extra = extra._replace(seed=seeds.pop())
# Predict step.
# Inflate and clip.
new_particles = INFLATE_FN(eakf_state.particles)
state_t = clip_state(new_particles.state, eakf_state.extra.population)
params_t = clip_params(new_particles.params, seed=seeds.pop())
eakf_state = eakf_state._replace(
particles=ParameterStatePair(params=params_t, state=state_t))
eakf_predict_state = ensemble_kalman_filter_predict(eakf_state, transition_fn)
# Clip the state and particles.
state_params = eakf_predict_state.particles
state_t = clip_state(
state_params.state, eakf_predict_state.extra.population)
state_params = ParameterStatePair(state=state_t, params=state_params.params)
# We preprocess the state and parameters by affixing a 1 dimension. This is because for
# inference, we treat each city as independent. We could also introduce localization by
# considering cities that are adjacent.
state_params = tf.nest.map_structure(lambda x: x[..., tf.newaxis], state_params)
eakf_predict_state = eakf_predict_state._replace(particles=state_params)
# Update step.
eakf_update_state = ensemble_adjustment_kalman_filter_update(
eakf_predict_state,
actual_reported_cases[..., j][..., tf.newaxis],
observation_fn)
state_params = tf.nest.map_structure(
lambda x: x[..., 0], eakf_update_state.particles)
# Clip to ensure parameters / state are well constrained.
state_t = clip_state(
state_params.state, eakf_update_state.extra.population)
# Finally for the parameters, we should reduce over all updates. We get
# an extra dimension back so let's do that.
params_t = tf.nest.map_structure(
lambda x, y: x + tf.reduce_sum(y[..., tf.newaxis] - x, axis=-2, keepdims=True),
eakf_predict_state.particles.params, state_params.params)
params_t = clip_params(params_t, seed=seeds.pop())
params_t = tf.nest.map_structure(lambda x: x[..., 0], params_t)
state_params = ParameterStatePair(state=state_t, params=params_t)
eakf_state = eakf_update_state
eakf_state = eakf_state._replace(particles=state_params)
# Flatten and collect the inferred parameter at time step t.
params_over_time = tf.nest.map_structure(
lambda s, x: tf.concat([s, x], axis=-1), params_over_time, params_t)
est_params = tf.nest.map_structure(
# Take the average over the Ensemble and over time.
lambda x: tf.math.reduce_mean(x, axis=[0, -1])[..., tf.newaxis],
params_over_time)
params_per_iter.append(est_params)
print('Iterated Filtering {} / {} Ran in: {:.2f} seconds'.format(
i, num_iterations, time.time() - start_if_time))
return tf.nest.map_structure(
lambda x: tf.squeeze(x, axis=-1), params_per_iter[-1])
最終的な詳細: パラメータが範囲内にあり、負でないことを確認してパラメータと状態をクリッピングします。
def clip_state(state, population):
"""Clip state to sensible values."""
state = tf.nest.map_structure(
lambda x: tf.where(x < 0, 0., x), state)
# If S > population, then adjust as well.
susceptible = tf.where(state.susceptible > population, population, state.susceptible)
return SEIRComponents(
susceptible=susceptible,
exposed=state.exposed,
documented_infectious=state.documented_infectious,
undocumented_infectious=state.undocumented_infectious,
daily_new_documented_infectious=state.daily_new_documented_infectious)
def clip_params(params, seed):
"""Clip parameters to bounds."""
def _clip(p, minval, maxval):
return tf.where(
p < minval,
minval * (1. + 0.1 * tf.random.stateless_uniform(p.shape, seed=seed)),
tf.where(p > maxval,
maxval * (1. - 0.1 * tf.random.stateless_uniform(
p.shape, seed=seed)), p))
params = tf.nest.map_structure(
_clip, params, PARAMETER_LOWER_BOUNDS, PARAMETER_UPPER_BOUNDS)
return params
全てを実行する
# Let's sample the parameters.
#
# NOTE: Li et al. run inference 1000 times, which would take a few hours.
# Here we run inference 30 times (in a single, vectorized batch).
best_parameters = inference(
num_ensembles=300,
num_batches=30,
num_iterations=10,
actual_reported_cases=observed_daily_infectious_count,
mobility_matrix_over_time=mobility_matrix_over_time)
Starting inference. Iterated Filtering 0 / 10 Ran in: 26.65 seconds Iterated Filtering 1 / 10 Ran in: 28.69 seconds Iterated Filtering 2 / 10 Ran in: 28.06 seconds Iterated Filtering 3 / 10 Ran in: 28.48 seconds Iterated Filtering 4 / 10 Ran in: 28.57 seconds Iterated Filtering 5 / 10 Ran in: 28.35 seconds Iterated Filtering 6 / 10 Ran in: 28.35 seconds Iterated Filtering 7 / 10 Ran in: 28.19 seconds Iterated Filtering 8 / 10 Ran in: 28.58 seconds Iterated Filtering 9 / 10 Ran in: 28.23 seconds
推論の結果です。すべてのグローバルパラメータの最尤値をプロットして、num_batches の独立した推論の実行全体での変動を示します。これは、補足資料の表 S1 に対応しています。
fig, axs = plt.subplots(2, 3)
axs[0, 0].boxplot(best_parameters.documented_infectious_tx_rate,
whis=(2.5,97.5), sym='')
axs[0, 0].set_title(r'$\beta$')
axs[0, 1].boxplot(best_parameters.undocumented_infectious_tx_relative_rate,
whis=(2.5,97.5), sym='')
axs[0, 1].set_title(r'$\mu$')
axs[0, 2].boxplot(best_parameters.intercity_underreporting_factor,
whis=(2.5,97.5), sym='')
axs[0, 2].set_title(r'$\theta$')
axs[1, 0].boxplot(best_parameters.average_latency_period,
whis=(2.5,97.5), sym='')
axs[1, 0].set_title(r'$Z$')
axs[1, 1].boxplot(best_parameters.fraction_of_documented_infections,
whis=(2.5,97.5), sym='')
axs[1, 1].set_title(r'$\alpha$')
axs[1, 2].boxplot(best_parameters.average_infection_duration,
whis=(2.5,97.5), sym='')
axs[1, 2].set_title(r'$D$')
plt.tight_layout()
