 عرض على TensorFlow.org |  تشغيل في Google Colab |  عرض المصدر على جيثب |  تحميل دفتر |
الملخص
في هذا colab ، نوضح كيفية استخدام مختلف المُحسِنات المطبقة في TensorFlow Probability.
التبعيات والمتطلبات
يستورد
%matplotlib inline
import contextlib
import functools
import os
import time
import numpy as np
import pandas as pd
import scipy as sp
from six.moves import urllib
from sklearn import preprocessing
import tensorflow.compat.v2 as tf
tf.enable_v2_behavior()
import tensorflow_probability as tfp
محسنات BFGS و L-BFGS
طرق شبه نيوتن هي فئة من خوارزمية تحسين الدرجة الأولى الشائعة. تستخدم هذه الطرق تقديرًا تقريبيًا إيجابيًا ومحددًا لمعيار Hessian الدقيق للعثور على اتجاه البحث.
الخوارزمية Broyden فليتشر-غولدفارب-Shanno ( BFGS ) هو تنفيذ محددة لهذه الفكرة العامة. انها قابلة للتطبيق وهو الأسلوب المفضل لمشاكل المتوسطة الحجم حيث التدرج هو مستمر في كل مكان (مثل الانحدار الخطي مع \(L_2\) جزاء).
L-BFGS هو نسخة محدودة من ذاكرة BFGS يمكن أن يكون مفيدا من أجل حل المشاكل الكبيرة التي لا يمكن أن تحسب بتكلفة معقولة أو ليست متناثر المصفوفات هس. بدلا من تخزين كثيفة تماما \(n \times n\) تقريبية المصفوفات هس، أنها توفر سوى بضع ناقلات طول \(n\) التي تمثل هذه تقريبية ضمنا.
وظائف المساعد
CACHE_DIR = os.path.join(os.sep, 'tmp', 'datasets')
def make_val_and_grad_fn(value_fn):
@functools.wraps(value_fn)
def val_and_grad(x):
return tfp.math.value_and_gradient(value_fn, x)
return val_and_grad
@contextlib.contextmanager
def timed_execution():
t0 = time.time()
yield
dt = time.time() - t0
print('Evaluation took: %f seconds' % dt)
def np_value(tensor):
"""Get numpy value out of possibly nested tuple of tensors."""
if isinstance(tensor, tuple):
return type(tensor)(*(np_value(t) for t in tensor))
else:
return tensor.numpy()
def run(optimizer):
"""Run an optimizer and measure it's evaluation time."""
optimizer() # Warmup.
with timed_execution():
result = optimizer()
return np_value(result)
L-BFGS على دالة تربيعية بسيطة
# Fix numpy seed for reproducibility
np.random.seed(12345)
# The objective must be supplied as a function that takes a single
# (Tensor) argument and returns a tuple. The first component of the
# tuple is the value of the objective at the supplied point and the
# second value is the gradient at the supplied point. The value must
# be a scalar and the gradient must have the same shape as the
# supplied argument.
# The `make_val_and_grad_fn` decorator helps transforming a function
# returning the objective value into one that returns both the gradient
# and the value. It also works for both eager and graph mode.
dim = 10
minimum = np.ones([dim])
scales = np.exp(np.random.randn(dim))
@make_val_and_grad_fn
def quadratic(x):
return tf.reduce_sum(scales * (x - minimum) ** 2, axis=-1)
# The minimization routine also requires you to supply an initial
# starting point for the search. For this example we choose a random
# starting point.
start = np.random.randn(dim)
# Finally an optional argument called tolerance let's you choose the
# stopping point of the search. The tolerance specifies the maximum
# (supremum) norm of the gradient vector at which the algorithm terminates.
# If you don't have a specific need for higher or lower accuracy, leaving
# this parameter unspecified (and hence using the default value of 1e-8)
# should be good enough.
tolerance = 1e-10
@tf.function
def quadratic_with_lbfgs():
return tfp.optimizer.lbfgs_minimize(
quadratic,
initial_position=tf.constant(start),
tolerance=tolerance)
results = run(quadratic_with_lbfgs)
# The optimization results contain multiple pieces of information. The most
# important fields are: 'converged' and 'position'.
# Converged is a boolean scalar tensor. As the name implies, it indicates
# whether the norm of the gradient at the final point was within tolerance.
# Position is the location of the minimum found. It is important to check
# that converged is True before using the value of the position.
print('L-BFGS Results')
print('Converged:', results.converged)
print('Location of the minimum:', results.position)
print('Number of iterations:', results.num_iterations)
Evaluation took: 0.014586 seconds L-BFGS Results Converged: True Location of the minimum: [1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.] Number of iterations: 10
نفس المشكلة مع BFGS
@tf.function
def quadratic_with_bfgs():
return tfp.optimizer.bfgs_minimize(
quadratic,
initial_position=tf.constant(start),
tolerance=tolerance)
results = run(quadratic_with_bfgs)
print('BFGS Results')
print('Converged:', results.converged)
print('Location of the minimum:', results.position)
print('Number of iterations:', results.num_iterations)
Evaluation took: 0.010468 seconds BFGS Results Converged: True Location of the minimum: [1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.] Number of iterations: 10
الانحدار الخطي بعقوبة L1: بيانات سرطان البروستاتا
مثال من الكتاب: عناصر الإحصائية التعلم، استخراج البيانات، الاستدلال، والتنبؤ عن طريق تريفور هاستي، روبرت تيبشيراني وجيروم فريدمان.
لاحظ أن هذه مشكلة تحسين بعقوبة L1.
الحصول على مجموعة البيانات
def cache_or_download_file(cache_dir, url_base, filename):
"""Read a cached file or download it."""
filepath = os.path.join(cache_dir, filename)
if tf.io.gfile.exists(filepath):
return filepath
if not tf.io.gfile.exists(cache_dir):
tf.io.gfile.makedirs(cache_dir)
url = url_base + filename
print("Downloading {url} to {filepath}.".format(url=url, filepath=filepath))
urllib.request.urlretrieve(url, filepath)
return filepath
def get_prostate_dataset(cache_dir=CACHE_DIR):
"""Download the prostate dataset and read as Pandas dataframe."""
url_base = 'http://web.stanford.edu/~hastie/ElemStatLearn/datasets/'
return pd.read_csv(
cache_or_download_file(cache_dir, url_base, 'prostate.data'),
delim_whitespace=True, index_col=0)
prostate_df = get_prostate_dataset()
Downloading http://web.stanford.edu/~hastie/ElemStatLearn/datasets/prostate.data to /tmp/datasets/prostate.data.
تعريف المشكلة
np.random.seed(12345)
feature_names = ['lcavol', 'lweight', 'age', 'lbph', 'svi', 'lcp',
'gleason', 'pgg45']
# Normalize features
scalar = preprocessing.StandardScaler()
prostate_df[feature_names] = pd.DataFrame(
scalar.fit_transform(
prostate_df[feature_names].astype('float64')))
# select training set
prostate_df_train = prostate_df[prostate_df.train == 'T']
# Select features and labels
features = prostate_df_train[feature_names]
labels = prostate_df_train[['lpsa']]
# Create tensors
feat = tf.constant(features.values, dtype=tf.float64)
lab = tf.constant(labels.values, dtype=tf.float64)
dtype = feat.dtype
regularization = 0 # regularization parameter
dim = 8 # number of features
# We pick a random starting point for the search
start = np.random.randn(dim + 1)
def regression_loss(params):
"""Compute loss for linear regression model with L1 penalty
Args:
params: A real tensor of shape [dim + 1]. The zeroth component
is the intercept term and the rest of the components are the
beta coefficients.
Returns:
The mean square error loss including L1 penalty.
"""
params = tf.squeeze(params)
intercept, beta = params[0], params[1:]
pred = tf.matmul(feat, tf.expand_dims(beta, axis=-1)) + intercept
mse_loss = tf.reduce_sum(
tf.cast(
tf.losses.mean_squared_error(y_true=lab, y_pred=pred), tf.float64))
l1_penalty = regularization * tf.reduce_sum(tf.abs(beta))
total_loss = mse_loss + l1_penalty
return total_loss
حل مع L-BFGS
تناسب باستخدام L-BFGS. على الرغم من أن عقوبة L1 تقدم انقطاعات مشتقة ، في الممارسة العملية ، لا يزال L-BFGS يعمل بشكل جيد.
@tf.function
def l1_regression_with_lbfgs():
return tfp.optimizer.lbfgs_minimize(
make_val_and_grad_fn(regression_loss),
initial_position=tf.constant(start),
tolerance=1e-8)
results = run(l1_regression_with_lbfgs)
minimum = results.position
fitted_intercept = minimum[0]
fitted_beta = minimum[1:]
print('L-BFGS Results')
print('Converged:', results.converged)
print('Intercept: Fitted ({})'.format(fitted_intercept))
print('Beta: Fitted {}'.format(fitted_beta))
Evaluation took: 0.017987 seconds L-BFGS Results Converged: True Intercept: Fitted (2.3879985744556484) Beta: Fitted [ 0.68626215 0.28193532 -0.17030254 0.10799274 0.33634988 -0.24888523 0.11992237 0.08689026]
حل مع نيلدر ميد
على طريقة Nelder ميد هو واحد من أكثر طرق تقليل حرة مشتقة الشعبية. لا يستخدم هذا المحسن معلومات التدرج ولا يقدم أي افتراضات حول إمكانية تفاضل الوظيفة الهدف ؛ لذلك فهو مناسب للوظائف الموضوعية غير السلسة ، على سبيل المثال مشاكل التحسين بعقوبة L1.
للمشكلة الأمثل في \(n\)-الأبعاد أنه يحافظ على مجموعة من\(n+1\) الحلول المرشحة التي تمتد من البسيط غير منحط. يقوم بتعديل البسيط على التوالي بناءً على مجموعة من الحركات (الانعكاس والتوسع والانكماش والانكماش) باستخدام قيم الوظيفة في كل من القمم.
# Nelder mead expects an initial_vertex of shape [n + 1, 1].
initial_vertex = tf.expand_dims(tf.constant(start, dtype=dtype), axis=-1)
@tf.function
def l1_regression_with_nelder_mead():
return tfp.optimizer.nelder_mead_minimize(
regression_loss,
initial_vertex=initial_vertex,
func_tolerance=1e-10,
position_tolerance=1e-10)
results = run(l1_regression_with_nelder_mead)
minimum = results.position.reshape([-1])
fitted_intercept = minimum[0]
fitted_beta = minimum[1:]
print('Nelder Mead Results')
print('Converged:', results.converged)
print('Intercept: Fitted ({})'.format(fitted_intercept))
print('Beta: Fitted {}'.format(fitted_beta))
Evaluation took: 0.325643 seconds Nelder Mead Results Converged: True Intercept: Fitted (2.387998456121595) Beta: Fitted [ 0.68626266 0.28193456 -0.17030291 0.10799375 0.33635132 -0.24888703 0.11992244 0.08689023]
الانحدار اللوجستي مع جزاء L2
في هذا المثال ، نقوم بإنشاء مجموعة بيانات تركيبية للتصنيف واستخدام مُحسِّن L-BFGS لملاءمة المعلمات.
np.random.seed(12345)
dim = 5 # The number of features
n_obs = 10000 # The number of observations
betas = np.random.randn(dim) # The true beta
intercept = np.random.randn() # The true intercept
features = np.random.randn(n_obs, dim) # The feature matrix
probs = sp.special.expit(
np.matmul(features, np.expand_dims(betas, -1)) + intercept)
labels = sp.stats.bernoulli.rvs(probs) # The true labels
regularization = 0.8
feat = tf.constant(features)
lab = tf.constant(labels, dtype=feat.dtype)
@make_val_and_grad_fn
def negative_log_likelihood(params):
"""Negative log likelihood for logistic model with L2 penalty
Args:
params: A real tensor of shape [dim + 1]. The zeroth component
is the intercept term and the rest of the components are the
beta coefficients.
Returns:
The negative log likelihood plus the penalty term.
"""
intercept, beta = params[0], params[1:]
logit = tf.matmul(feat, tf.expand_dims(beta, -1)) + intercept
log_likelihood = tf.reduce_sum(tf.nn.sigmoid_cross_entropy_with_logits(
labels=lab, logits=logit))
l2_penalty = regularization * tf.reduce_sum(beta ** 2)
total_loss = log_likelihood + l2_penalty
return total_loss
start = np.random.randn(dim + 1)
@tf.function
def l2_regression_with_lbfgs():
return tfp.optimizer.lbfgs_minimize(
negative_log_likelihood,
initial_position=tf.constant(start),
tolerance=1e-8)
results = run(l2_regression_with_lbfgs)
minimum = results.position
fitted_intercept = minimum[0]
fitted_beta = minimum[1:]
print('Converged:', results.converged)
print('Intercept: Fitted ({}), Actual ({})'.format(fitted_intercept, intercept))
print('Beta:\n\tFitted {},\n\tActual {}'.format(fitted_beta, betas))
Evaluation took: 0.056751 seconds
Converged: True
Intercept: Fitted (1.4111415084244365), Actual (1.3934058329729904)
Beta:
Fitted [-0.18016612 0.53121578 -0.56420632 -0.5336374 2.00499675],
Actual [-0.20470766 0.47894334 -0.51943872 -0.5557303 1.96578057]
دعم الخلط
يدعم كل من BFGS و L-BFGS الحساب المجمّع ، على سبيل المثال لتحسين وظيفة واحدة من العديد من نقاط البداية المختلفة ؛ أو وظائف بارامترية متعددة من نقطة واحدة.
وظيفة واحدة ، نقاط انطلاق متعددة
وظيفة Himmelblau هي حالة اختبار التحسين القياسية. يتم إعطاء الوظيفة من خلال:
\[f(x, y) = (x^2 + y - 11)^2 + (x + y^2 - 7)^2\]
الوظيفة لها أربعة حدود دنيا تقع في:
- (3 ، 2) ،
- (-2.805118 ، 3.131312) ،
- (-3.779310 ، -3.283186) ،
- (3.584428 ، -1.848126).
يمكن الوصول إلى كل هذه الحدود الدنيا من نقاط البداية المناسبة.
# The function to minimize must take as input a tensor of shape [..., n]. In
# this n=2 is the size of the domain of the input and [...] are batching
# dimensions. The return value must be of shape [...], i.e. a batch of scalars
# with the objective value of the function evaluated at each input point.
@make_val_and_grad_fn
def himmelblau(coord):
x, y = coord[..., 0], coord[..., 1]
return (x * x + y - 11) ** 2 + (x + y * y - 7) ** 2
starts = tf.constant([[1, 1],
[-2, 2],
[-1, -1],
[1, -2]], dtype='float64')
# The stopping_condition allows to further specify when should the search stop.
# The default, tfp.optimizer.converged_all, will proceed until all points have
# either converged or failed. There is also a tfp.optimizer.converged_any to
# stop as soon as the first point converges, or all have failed.
@tf.function
def batch_multiple_starts():
return tfp.optimizer.lbfgs_minimize(
himmelblau, initial_position=starts,
stopping_condition=tfp.optimizer.converged_all,
tolerance=1e-8)
results = run(batch_multiple_starts)
print('Converged:', results.converged)
print('Minima:', results.position)
Evaluation took: 0.019095 seconds Converged: [ True True True True] Minima: [[ 3. 2. ] [-2.80511809 3.13131252] [-3.77931025 -3.28318599] [ 3.58442834 -1.84812653]]
وظائف متعددة
لأغراض العرض التوضيحي ، في هذا المثال ، نقوم في نفس الوقت بتحسين عدد كبير من الأوعية التربيعية عالية الأبعاد التي يتم إنشاؤها عشوائيًا.
np.random.seed(12345)
dim = 100
batches = 500
minimum = np.random.randn(batches, dim)
scales = np.exp(np.random.randn(batches, dim))
@make_val_and_grad_fn
def quadratic(x):
return tf.reduce_sum(input_tensor=scales * (x - minimum)**2, axis=-1)
# Make all starting points (1, 1, ..., 1). Note not all starting points need
# to be the same.
start = tf.ones((batches, dim), dtype='float64')
@tf.function
def batch_multiple_functions():
return tfp.optimizer.lbfgs_minimize(
quadratic, initial_position=start,
stopping_condition=tfp.optimizer.converged_all,
max_iterations=100,
tolerance=1e-8)
results = run(batch_multiple_functions)
print('All converged:', np.all(results.converged))
print('Largest error:', np.max(results.position - minimum))
Evaluation took: 1.994132 seconds All converged: True Largest error: 4.4131473142527966e-08