หน้านี้ได้รับการแปลโดย Cloud Translation API

แปดโรงเรียน

ดูบน TensorFlow.org

ทำงานใน Google Colab

ดูแหล่งที่มาบน GitHub

ดาวน์โหลดโน๊ตบุ๊ค

แปดโรงเรียนปัญหา ( รูบิน 1981 ) พิจารณาประสิทธิผลของโปรแกรมการฝึก SAT ดำเนินการในแบบคู่ขนานที่แปดโรงเรียน มันได้กลายเป็นปัญหาคลาสสิก ( เบส์วิเคราะห์ข้อมูล , สแตน ) ที่แสดงให้เห็นถึงประโยชน์ของการสร้างแบบจำลองลำดับชั้นสำหรับการแบ่งปันข้อมูลระหว่างกลุ่มแลกเปลี่ยน

implemention ด้านล่างคือการปรับตัวของเอ็ดเวิร์ด 1.0 กวดวิชา

นำเข้า

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import seaborn as sns

import tensorflow.compat.v2 as tf
import tensorflow_probability as tfp
from tensorflow_probability import distributions as tfd
import warnings

tf.enable_v2_behavior()

plt.style.use("ggplot")
warnings.filterwarnings('ignore')

ข้อมูล

จากการวิเคราะห์ข้อมูลแบบเบย์ ส่วนที่ 5.5 (Gelman et al. 2013):

ได้ทำการศึกษาสำหรับบริการทดสอบทางการศึกษาเพื่อวิเคราะห์ผลกระทบของโปรแกรมการฝึกสอนพิเศษสำหรับ SAT-V (Scholastic Aptitude Test-Verbal) ในโรงเรียนมัธยมแต่ละแห่งแปดแห่ง ตัวแปรผลลัพธ์ในการศึกษาแต่ละครั้งคือคะแนนในการบริหารพิเศษของ SAT-V ซึ่งเป็นการทดสอบแบบเลือกตอบที่ได้มาตรฐานซึ่งบริหารจัดการโดยบริการทดสอบทางการศึกษา และใช้เพื่อช่วยวิทยาลัยในการตัดสินใจรับเข้าเรียน คะแนนสามารถเปลี่ยนแปลงได้ระหว่าง 200 ถึง 800 โดยมีค่าเฉลี่ยประมาณ 500 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานประมาณ 100 การสอบ SAT ได้รับการออกแบบมาให้ทนต่อความพยายามในระยะสั้นซึ่งมุ่งไปที่การปรับปรุงประสิทธิภาพการทดสอบโดยเฉพาะ แต่ได้รับการออกแบบเพื่อสะท้อนความรู้ที่ได้มาและความสามารถที่พัฒนาขึ้นตลอดหลายปีของการศึกษา อย่างไรก็ตาม โรงเรียนทั้งแปดแห่งในการศึกษานี้ถือว่าโปรแกรมการฝึกสอนระยะสั้นประสบความสำเร็จอย่างมากในการเพิ่มคะแนน SAT นอกจากนี้ ไม่มีเหตุผลก่อนหน้าที่จะเชื่อว่าโปรแกรมใด ๆ ในแปดโปรแกรมมีประสิทธิภาพมากกว่าโปรแกรมอื่น ๆ หรือบางโปรแกรมมีผลคล้ายกันมากกว่าโปรแกรมอื่น

สำหรับแต่ละโรงเรียนแปด ( $J = 8$ ) เรามีการประเมินผลการรักษา $y_j$ และข้อผิดพลาดมาตรฐานของการประมาณการผล $\sigma_j$ ผลการรักษาในการศึกษาได้มาจากการถดถอยเชิงเส้นของกลุ่มบำบัดโดยใช้คะแนน PSAT-M และ PSAT-V เป็นตัวแปรควบคุม เมื่อไม่มีความเชื่อก่อนที่ใด ๆ ของโรงเรียนได้มากขึ้นหรือน้อยกว่าที่คล้ายกันหรือที่ใด ๆ ของโปรแกรมการฝึกจะมีประสิทธิภาพมากขึ้นเราสามารถพิจารณาผลกระทบการรักษาเป็น ที่แลกเปลี่ยน

num_schools = 8  # number of schools
treatment_effects = np.array(
    [28, 8, -3, 7, -1, 1, 18, 12], dtype=np.float32)  # treatment effects
treatment_stddevs = np.array(
    [15, 10, 16, 11, 9, 11, 10, 18], dtype=np.float32)  # treatment SE

fig, ax = plt.subplots()
plt.bar(range(num_schools), treatment_effects, yerr=treatment_stddevs)
plt.title("8 Schools treatment effects")
plt.xlabel("School")
plt.ylabel("Treatment effect")
fig.set_size_inches(10, 8)
plt.show()

png

แบบอย่าง

ในการเก็บข้อมูล เราใช้โมเดลปกติแบบมีลำดับชั้น มันเป็นไปตามกระบวนการกำเนิด

\begin{aligned} μ & \sim Normal (loc = 0, scale = 10) \\ \log τ & \sim Normal (loc = 5, scale = 1) \\ for & i = 1 \dots 8 : \\ θ_{i} \sim Normal (loc = μ, scale = τ) \\ y_{i} \sim Normal (loc = θ_{i}, scale = σ_{i}) \end{aligned}

$\begin{align*} \mu &\sim \text{Normal}(\text{loc}{=}0,\ \text{scale}{=}10) \\ \log\tau &\sim \text{Normal}(\text{loc}{=}5,\ \text{scale}{=}1) \\ \text{for } & i=1\ldots 8:\\ & \theta_i \sim \text{Normal}\left(\text{loc}{=}\mu,\ \text{scale}{=}\tau \right) \\ & y_i \sim \text{Normal}\left(\text{loc}{=}\theta_i,\ \text{scale}{=}\sigma_i \right) \end{align*}$

ที่ $\mu$ หมายถึงก่อนที่ผลการรักษาเฉลี่ยและ $\tau$ ควบคุมวิธีการที่แปรปรวนมากมีระหว่างโรงเรียน $y_i$ และ $\sigma_i$ จะสังเกตเห็น ในฐานะที่เป็น $\tau \rightarrow \infty$ รูปแบบวิธีการรูปแบบที่ไม่รวมกำไรคือแต่ละประมาณการผลการรักษาโรงเรียนได้รับอนุญาตให้เป็นอิสระมากขึ้น ในฐานะที่เป็น $\tau \rightarrow 0$ รูปแบบวิธีการรูปแบบที่สมบูรณ์ร่วมกันคือทั้งหมดของผลการรักษาที่โรงเรียนมีความใกล้ชิดกับกลุ่มเฉลี่ย $\mu$ หากต้องการ จำกัด ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจะเป็นบวกเราวาด $\tau$ จากการกระจาย lognormal (ซึ่งเทียบเท่ากับการวาดภาพ $log(\tau)$ จากการแจกแจงแบบปกติ)

ต่อไปนี้การ วินิจฉัยลำเอียงอนุมานกับ Divergences เราเปลี่ยนรูปแบบข้างต้นลงในรูปแบบที่ไม่เป็นศูนย์กลางเทียบเท่า:

\begin{aligned} μ & \sim Normal (loc = 0, scale = 10) \\ \log τ & \sim Normal (loc = 5, scale = 1) \\ for & i = 1 \dots 8 : \\ θ_{i}^{'} \sim Normal (loc = 0, scale = 1) \\ θ_{i} = μ + τ θ_{i}^{'} \\ y_{i} \sim Normal (loc = θ_{i}, scale = σ_{i}) \end{aligned}

$\begin{align*} \mu &\sim \text{Normal}(\text{loc}{=}0,\ \text{scale}{=}10) \\ \log\tau &\sim \text{Normal}(\text{loc}{=}5,\ \text{scale}{=}1) \\ \text{for } & i=1\ldots 8:\\ & \theta_i' \sim \text{Normal}\left(\text{loc}{=}0,\ \text{scale}{=}1 \right) \\ & \theta_i = \mu + \tau \theta_i' \\ & y_i \sim \text{Normal}\left(\text{loc}{=}\theta_i,\ \text{scale}{=}\sigma_i \right) \end{align*}$

เราทำให้เป็นจริงรุ่นนี้เป็น JointDistributionSequential เช่น:

model = tfd.JointDistributionSequential([
  tfd.Normal(loc=0., scale=10., name="avg_effect"),  # `mu` above
  tfd.Normal(loc=5., scale=1., name="avg_stddev"),  # `log(tau)` above
  tfd.Independent(tfd.Normal(loc=tf.zeros(num_schools),
                             scale=tf.ones(num_schools),
                             name="school_effects_standard"),  # `theta_prime` 
                  reinterpreted_batch_ndims=1),
  lambda school_effects_standard, avg_stddev, avg_effect: (
      tfd.Independent(tfd.Normal(loc=(avg_effect[..., tf.newaxis] +
                                      tf.exp(avg_stddev[..., tf.newaxis]) *
                                      school_effects_standard),  # `theta` above
                                 scale=treatment_stddevs),
                      name="treatment_effects",  # `y` above
                      reinterpreted_batch_ndims=1))
])

def target_log_prob_fn(avg_effect, avg_stddev, school_effects_standard):
  """Unnormalized target density as a function of states."""
  return model.log_prob((
      avg_effect, avg_stddev, school_effects_standard, treatment_effects))

การอนุมานแบบเบย์

จากข้อมูลที่ให้มา เราดำเนินการ Hamiltonian Monte Carlo (HMC) เพื่อคำนวณการแจกแจงภายหลังเหนือพารามิเตอร์ของแบบจำลอง

num_results = 5000
num_burnin_steps = 3000

# Improve performance by tracing the sampler using `tf.function`
# and compiling it using XLA.
@tf.function(autograph=False, jit_compile=True)
def do_sampling():
  return tfp.mcmc.sample_chain(
      num_results=num_results,
      num_burnin_steps=num_burnin_steps,
      current_state=[
          tf.zeros([], name='init_avg_effect'),
          tf.zeros([], name='init_avg_stddev'),
          tf.ones([num_schools], name='init_school_effects_standard'),
      ],
      kernel=tfp.mcmc.HamiltonianMonteCarlo(
          target_log_prob_fn=target_log_prob_fn,
          step_size=0.4,
          num_leapfrog_steps=3))

states, kernel_results = do_sampling()

avg_effect, avg_stddev, school_effects_standard = states

school_effects_samples = (
    avg_effect[:, np.newaxis] +
    np.exp(avg_stddev)[:, np.newaxis] * school_effects_standard)

num_accepted = np.sum(kernel_results.is_accepted)
print('Acceptance rate: {}'.format(num_accepted / num_results))

Acceptance rate: 0.5974

fig, axes = plt.subplots(8, 2, sharex='col', sharey='col')
fig.set_size_inches(12, 10)
for i in range(num_schools):
  axes[i][0].plot(school_effects_samples[:,i].numpy())
  axes[i][0].title.set_text("School {} treatment effect chain".format(i))
  sns.kdeplot(school_effects_samples[:,i].numpy(), ax=axes[i][1], shade=True)
  axes[i][1].title.set_text("School {} treatment effect distribution".format(i))
axes[num_schools - 1][0].set_xlabel("Iteration")
axes[num_schools - 1][1].set_xlabel("School effect")
fig.tight_layout()
plt.show()

png

print("E[avg_effect] = {}".format(np.mean(avg_effect)))
print("E[avg_stddev] = {}".format(np.mean(avg_stddev)))
print("E[school_effects_standard] =")
print(np.mean(school_effects_standard[:, ]))
print("E[school_effects] =")
print(np.mean(school_effects_samples[:, ], axis=0))

E[avg_effect] = 5.57183933258
E[avg_stddev] = 2.47738981247
E[school_effects_standard] =
0.08509017
E[school_effects] =
[15.0051     7.103311   2.4552586  6.2744603  1.3364682  3.1125953
 12.762501   7.743602 ]

# Compute the 95% interval for school_effects
school_effects_low = np.array([
    np.percentile(school_effects_samples[:, i], 2.5) for i in range(num_schools)
])
school_effects_med = np.array([
    np.percentile(school_effects_samples[:, i], 50) for i in range(num_schools)
])
school_effects_hi = np.array([
    np.percentile(school_effects_samples[:, i], 97.5)
    for i in range(num_schools)
])

fig, ax = plt.subplots(nrows=1, ncols=1, sharex=True)
ax.scatter(np.array(range(num_schools)), school_effects_med, color='red', s=60)
ax.scatter(
    np.array(range(num_schools)) + 0.1, treatment_effects, color='blue', s=60)

plt.plot([-0.2, 7.4], [np.mean(avg_effect),
                       np.mean(avg_effect)], 'k', linestyle='--')

ax.errorbar(
    np.array(range(8)),
    school_effects_med,
    yerr=[
        school_effects_med - school_effects_low,
        school_effects_hi - school_effects_med
    ],
    fmt='none')

ax.legend(('avg_effect', 'HMC', 'Observed effect'), fontsize=14)

plt.xlabel('School')
plt.ylabel('Treatment effect')
plt.title('HMC estimated school treatment effects vs. observed data')
fig.set_size_inches(10, 8)
plt.show()

png

เราสามารถสังเกตเห็นการหดตัวที่มีต่อกลุ่ม avg_effect ดังกล่าวข้างต้น

print("Inferred posterior mean: {0:.2f}".format(
    np.mean(school_effects_samples[:,])))
print("Inferred posterior mean se: {0:.2f}".format(
    np.std(school_effects_samples[:,])))

Inferred posterior mean: 6.97
Inferred posterior mean se: 10.41

คำติชม

ที่จะได้รับการกระจายการทำนายหลังคือรูปแบบของข้อมูลใหม่ $y^*$ ได้รับข้อมูลที่สังเกต $y$ :

p (y^{*} | y) \propto \int_{θ} p (y^{*} | θ) p (θ | y) d θ

$p(y^*|y) \propto \int_\theta p(y^* | \theta)p(\theta |y)d\theta$

เราแทนที่ค่าของตัวแปรสุ่มที่อยู่ในรูปแบบที่จะกำหนดให้ค่าเฉลี่ยของการกระจายหลังและตัวอย่างจากรูปแบบที่จะสร้างข้อมูลใหม่ $y^*$

sample_shape = [5000]

_, _, _, predictive_treatment_effects = model.sample(
    value=(tf.broadcast_to(np.mean(avg_effect, 0), sample_shape),
           tf.broadcast_to(np.mean(avg_stddev, 0), sample_shape),
           tf.broadcast_to(np.mean(school_effects_standard, 0),
                           sample_shape + [num_schools]),
           None))

fig, axes = plt.subplots(4, 2, sharex=True, sharey=True)
fig.set_size_inches(12, 10)
fig.tight_layout()
for i, ax in enumerate(axes):
  sns.kdeplot(predictive_treatment_effects[:, 2*i].numpy(),
              ax=ax[0], shade=True)
  ax[0].title.set_text(
      "School {} treatment effect posterior predictive".format(2*i))
  sns.kdeplot(predictive_treatment_effects[:, 2*i + 1].numpy(),
              ax=ax[1], shade=True)
  ax[1].title.set_text(
      "School {} treatment effect posterior predictive".format(2*i + 1))
plt.show()

png

# The mean predicted treatment effects for each of the eight schools.
prediction = np.mean(predictive_treatment_effects, axis=0)

เราสามารถดูส่วนที่เหลือระหว่างข้อมูลผลการรักษาและการคาดการณ์ของแบบจำลองหลัง สิ่งเหล่านี้สอดคล้องกับโครงเรื่องด้านบนซึ่งแสดงให้เห็นการหดตัวของผลกระทบโดยประมาณที่มีต่อค่าเฉลี่ยของประชากร

treatment_effects - prediction

array([14.905351 ,  1.2838383, -5.6966295,  0.8327627, -2.3356671,
       -2.0363257,  5.997898 ,  4.3731265], dtype=float32)

เนื่องจากเรามีการกระจายคำทำนายสำหรับแต่ละโรงเรียน เราจึงสามารถพิจารณาการกระจายของที่เหลือได้เช่นกัน

residuals = treatment_effects - predictive_treatment_effects

fig, axes = plt.subplots(4, 2, sharex=True, sharey=True)
fig.set_size_inches(12, 10)
fig.tight_layout()
for i, ax in enumerate(axes):
  sns.kdeplot(residuals[:, 2*i].numpy(), ax=ax[0], shade=True)
  ax[0].title.set_text(
      "School {} treatment effect residuals".format(2*i))
  sns.kdeplot(residuals[:, 2*i + 1].numpy(), ax=ax[1], shade=True)
  ax[1].title.set_text(
      "School {} treatment effect residuals".format(2*i + 1))
plt.show()

png

รับทราบ

กวดวิชานี้ถูกเขียนเดิมในเอ็ดเวิร์ด 1.0 ( แหล่งที่มา ) เราขอขอบคุณผู้ร่วมเขียนข้อความและแก้ไขเวอร์ชันนั้น

อ้างอิง

โดนัลด์ บี. รูบิน. การประมาณค่าในการทดลองสุ่มคู่ขนาน วารสารสถิติการศึกษา 6(4):377-401, 1981.
แอนดรูว์ เกลแมน, จอห์น คาร์ลิน, ฮัล สเติร์น, เดวิด ดันสัน, อากิ เวห์ทารี และโดนัลด์ รูบิน การวิเคราะห์ข้อมูลแบบเบย์ ฉบับที่ 3 แชปแมนและฮอลล์/CRC, 2013