Otto scuole

Il problema otto scuole ( Rubin 1981 ) considera l'efficacia dei programmi di coaching SAT condotti in parallelo in otto scuole. E 'diventato un classico problema ( bayesiana analisi dei dati , Stan ) che illustra l'utilità di modellazione gerarchica per la condivisione delle informazioni tra i gruppi intercambiabili.

Il L'implementazione segue è un adattamento di un Edward 1,0 esercitazione .

Importazioni

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import seaborn as sns

import tensorflow.compat.v2 as tf
import tensorflow_probability as tfp
from tensorflow_probability import distributions as tfd
import warnings

tf.enable_v2_behavior()

plt.style.use("ggplot")
warnings.filterwarnings('ignore')

I dati

Dall'analisi dei dati bayesiani, sezione 5.5 (Gelman et al. 2013):

Per conto del Servizio Prove Educative è stato condotto uno studio per analizzare gli effetti di speciali programmi di coaching per SAT-V (Scholastic Attitude Test-Verbal) in ciascuna delle otto scuole superiori. La variabile di esito in ogni studio era il punteggio su un'amministrazione speciale del SAT-V, un test a scelta multipla standardizzato somministrato dall'Educational Testing Service e utilizzato per aiutare i college a prendere decisioni di ammissione; i punteggi possono variare tra 200 e 800, con media circa 500 e deviazione standard circa 100. Gli esami SAT sono progettati per resistere a sforzi a breve termine diretti specificamente al miglioramento delle prestazioni del test; invece sono progettati per riflettere le conoscenze acquisite e le abilità sviluppate in molti anni di istruzione. Tuttavia, ciascuna delle otto scuole in questo studio ha considerato il suo programma di coaching a breve termine molto efficace nell'aumentare i punteggi SAT. Inoltre, non vi era alcuna ragione preliminare per ritenere che uno degli otto programmi fosse più efficace di un altro o che alcuni fossero più simili negli effetti l'uno all'altro che a qualsiasi altro.

Per ciascuno degli otto scuole ($J = 8$), abbiamo un effetto del trattamento stimato $y_j$ e un errore standard di stima dell'effetto $\sigma_j$. Gli effetti del trattamento nello studio sono stati ottenuti mediante una regressione lineare sul gruppo di trattamento utilizzando i punteggi PSAT-M e PSAT-V come variabili di controllo. Poiché non vi era alcuna convinzione prima che una qualsiasi delle scuole erano più o meno simili, o che uno dei programmi di coaching sarebbe più efficace, possiamo considerare gli effetti del trattamento come intercambiabile .

num_schools = 8  # number of schools
treatment_effects = np.array(
    [28, 8, -3, 7, -1, 1, 18, 12], dtype=np.float32)  # treatment effects
treatment_stddevs = np.array(
    [15, 10, 16, 11, 9, 11, 10, 18], dtype=np.float32)  # treatment SE

fig, ax = plt.subplots()
plt.bar(range(num_schools), treatment_effects, yerr=treatment_stddevs)
plt.title("8 Schools treatment effects")
plt.xlabel("School")
plt.ylabel("Treatment effect")
fig.set_size_inches(10, 8)
plt.show()

Modello

Per acquisire i dati, utilizziamo un modello normale gerarchico. Segue il processo generativo,

$$\begin{align*} \mu &\sim \text{Normal}(\text{loc}{=}0,\ \text{scale}{=}10) \\ \log\tau &\sim \text{Normal}(\text{loc}{=}5,\ \text{scale}{=}1) \\ \text{for } & i=1\ldots 8:\\ & \theta_i \sim \text{Normal}\left(\text{loc}{=}\mu,\ \text{scale}{=}\tau \right) \\ & y_i \sim \text{Normal}\left(\text{loc}{=}\theta_i,\ \text{scale}{=}\sigma_i \right) \end{align*}$$

dove $\mu$ rappresenta l'effetto medio di trattamento e di quelli precedenti $\tau$ controlla quanto varianza c'è tra scuole. Il $y_i$ e $\sigma_i$ sono osservate. Come $\tau \rightarrow \infty$, il modello si avvicina il modello no-pooling, vale a dire, ciascuna delle stime dell'effetto del trattamento della scuola sono autorizzati a essere più indipendente. Come $\tau \rightarrow 0$, il modello si avvicina al modello completo-pooling, vale a dire, tutti gli effetti del trattamento della scuola sono più vicini al gruppo media $\mu$. Per limitare la deviazione standard è positivo, tracciamo $\tau$ da una distribuzione lognormale (che equivale al disegno $log(\tau)$ da una distribuzione normale).

A seguito di Diagnosi Biased Inference con divergenze , trasformiamo il modello di cui sopra in un modello non centrato equivalente:

$$\begin{align*} \mu &\sim \text{Normal}(\text{loc}{=}0,\ \text{scale}{=}10) \\ \log\tau &\sim \text{Normal}(\text{loc}{=}5,\ \text{scale}{=}1) \\ \text{for } & i=1\ldots 8:\\ & \theta_i' \sim \text{Normal}\left(\text{loc}{=}0,\ \text{scale}{=}1 \right) \\ & \theta_i = \mu + \tau \theta_i' \\ & y_i \sim \text{Normal}\left(\text{loc}{=}\theta_i,\ \text{scale}{=}\sigma_i \right) \end{align*}$$

Abbiamo reificare questo modello come JointDistributionSequential esempio:

model = tfd.JointDistributionSequential([
  tfd.Normal(loc=0., scale=10., name="avg_effect"),  # `mu` above
  tfd.Normal(loc=5., scale=1., name="avg_stddev"),  # `log(tau)` above
  tfd.Independent(tfd.Normal(loc=tf.zeros(num_schools),
                             scale=tf.ones(num_schools),
                             name="school_effects_standard"),  # `theta_prime` 
                  reinterpreted_batch_ndims=1),
  lambda school_effects_standard, avg_stddev, avg_effect: (
      tfd.Independent(tfd.Normal(loc=(avg_effect[..., tf.newaxis] +
                                      tf.exp(avg_stddev[..., tf.newaxis]) *
                                      school_effects_standard),  # `theta` above
                                 scale=treatment_stddevs),
                      name="treatment_effects",  # `y` above
                      reinterpreted_batch_ndims=1))
])

def target_log_prob_fn(avg_effect, avg_stddev, school_effects_standard):
  """Unnormalized target density as a function of states."""
  return model.log_prob((
      avg_effect, avg_stddev, school_effects_standard, treatment_effects))

Inferenza bayesiana

Dati i dati, eseguiamo Hamiltonian Monte Carlo (HMC) per calcolare la distribuzione a posteriori sui parametri del modello.

num_results = 5000
num_burnin_steps = 3000

# Improve performance by tracing the sampler using `tf.function`
# and compiling it using XLA.
@tf.function(autograph=False, jit_compile=True)
def do_sampling():
  return tfp.mcmc.sample_chain(
      num_results=num_results,
      num_burnin_steps=num_burnin_steps,
      current_state=[
          tf.zeros([], name='init_avg_effect'),
          tf.zeros([], name='init_avg_stddev'),
          tf.ones([num_schools], name='init_school_effects_standard'),
      ],
      kernel=tfp.mcmc.HamiltonianMonteCarlo(
          target_log_prob_fn=target_log_prob_fn,
          step_size=0.4,
          num_leapfrog_steps=3))

states, kernel_results = do_sampling()

avg_effect, avg_stddev, school_effects_standard = states

school_effects_samples = (
    avg_effect[:, np.newaxis] +
    np.exp(avg_stddev)[:, np.newaxis] * school_effects_standard)

num_accepted = np.sum(kernel_results.is_accepted)
print('Acceptance rate: {}'.format(num_accepted / num_results))

Acceptance rate: 0.5974

fig, axes = plt.subplots(8, 2, sharex='col', sharey='col')
fig.set_size_inches(12, 10)
for i in range(num_schools):
  axes[i][0].plot(school_effects_samples[:,i].numpy())
  axes[i][0].title.set_text("School {} treatment effect chain".format(i))
  sns.kdeplot(school_effects_samples[:,i].numpy(), ax=axes[i][1], shade=True)
  axes[i][1].title.set_text("School {} treatment effect distribution".format(i))
axes[num_schools - 1][0].set_xlabel("Iteration")
axes[num_schools - 1][1].set_xlabel("School effect")
fig.tight_layout()
plt.show()

print("E[avg_effect] = {}".format(np.mean(avg_effect)))
print("E[avg_stddev] = {}".format(np.mean(avg_stddev)))
print("E[school_effects_standard] =")
print(np.mean(school_effects_standard[:, ]))
print("E[school_effects] =")
print(np.mean(school_effects_samples[:, ], axis=0))

E[avg_effect] = 5.57183933258
E[avg_stddev] = 2.47738981247
E[school_effects_standard] =
0.08509017
E[school_effects] =
[15.0051     7.103311   2.4552586  6.2744603  1.3364682  3.1125953
 12.762501   7.743602 ]

# Compute the 95% interval for school_effects
school_effects_low = np.array([
    np.percentile(school_effects_samples[:, i], 2.5) for i in range(num_schools)
])
school_effects_med = np.array([
    np.percentile(school_effects_samples[:, i], 50) for i in range(num_schools)
])
school_effects_hi = np.array([
    np.percentile(school_effects_samples[:, i], 97.5)
    for i in range(num_schools)
])

fig, ax = plt.subplots(nrows=1, ncols=1, sharex=True)
ax.scatter(np.array(range(num_schools)), school_effects_med, color='red', s=60)
ax.scatter(
    np.array(range(num_schools)) + 0.1, treatment_effects, color='blue', s=60)

plt.plot([-0.2, 7.4], [np.mean(avg_effect),
                       np.mean(avg_effect)], 'k', linestyle='--')

ax.errorbar(
    np.array(range(8)),
    school_effects_med,
    yerr=[
        school_effects_med - school_effects_low,
        school_effects_hi - school_effects_med
    ],
    fmt='none')

ax.legend(('avg_effect', 'HMC', 'Observed effect'), fontsize=14)

plt.xlabel('School')
plt.ylabel('Treatment effect')
plt.title('HMC estimated school treatment effects vs. observed data')
fig.set_size_inches(10, 8)
plt.show()

Possiamo osservare il restringimento verso il gruppo avg_effect sopra.

print("Inferred posterior mean: {0:.2f}".format(
    np.mean(school_effects_samples[:,])))
print("Inferred posterior mean se: {0:.2f}".format(
    np.std(school_effects_samples[:,])))

Inferred posterior mean: 6.97
Inferred posterior mean se: 10.41

Critica

Per ottenere la distribuzione predittiva posteriori, vale a dire, un modello di nuovi dati $y^*$ data la osservata dati $y$:

$$p(y^*|y) \propto \int_\theta p(y^* | \theta)p(\theta |y)d\theta$$

ridefiniamo i valori delle variabili casuali nel modello di metterli alla media della distribuzione a posteriori, e il campione da quel modello per generare nuovi dati $y^*$.

sample_shape = [5000]

_, _, _, predictive_treatment_effects = model.sample(
    value=(tf.broadcast_to(np.mean(avg_effect, 0), sample_shape),
           tf.broadcast_to(np.mean(avg_stddev, 0), sample_shape),
           tf.broadcast_to(np.mean(school_effects_standard, 0),
                           sample_shape + [num_schools]),
           None))

fig, axes = plt.subplots(4, 2, sharex=True, sharey=True)
fig.set_size_inches(12, 10)
fig.tight_layout()
for i, ax in enumerate(axes):
  sns.kdeplot(predictive_treatment_effects[:, 2*i].numpy(),
              ax=ax[0], shade=True)
  ax[0].title.set_text(
      "School {} treatment effect posterior predictive".format(2*i))
  sns.kdeplot(predictive_treatment_effects[:, 2*i + 1].numpy(),
              ax=ax[1], shade=True)
  ax[1].title.set_text(
      "School {} treatment effect posterior predictive".format(2*i + 1))
plt.show()

# The mean predicted treatment effects for each of the eight schools.
prediction = np.mean(predictive_treatment_effects, axis=0)

Possiamo guardare i residui tra i dati sugli effetti del trattamento e le previsioni del modello a posteriori. Questi corrispondono al grafico sopra che mostra la contrazione degli effetti stimati verso la media della popolazione.

treatment_effects - prediction

array([14.905351 ,  1.2838383, -5.6966295,  0.8327627, -2.3356671,
       -2.0363257,  5.997898 ,  4.3731265], dtype=float32)

Poiché abbiamo una distribuzione delle previsioni per ogni scuola, possiamo considerare anche la distribuzione dei residui.

residuals = treatment_effects - predictive_treatment_effects

fig, axes = plt.subplots(4, 2, sharex=True, sharey=True)
fig.set_size_inches(12, 10)
fig.tight_layout()
for i, ax in enumerate(axes):
  sns.kdeplot(residuals[:, 2*i].numpy(), ax=ax[0], shade=True)
  ax[0].title.set_text(
      "School {} treatment effect residuals".format(2*i))
  sns.kdeplot(residuals[:, 2*i + 1].numpy(), ax=ax[1], shade=True)
  ax[1].title.set_text(
      "School {} treatment effect residuals".format(2*i + 1))
plt.show()

Ringraziamenti

Questo tutorial è stato originariamente scritto in Edward 1.0 ( fonte ). Ringraziamo tutti coloro che hanno contribuito alla stesura e alla revisione di tale versione.

Riferimenti

1. Donald B. Rubin. Stima in esperimenti randomizzati paralleli. Journal of Educational Statistics, 6(4):377-401, 1981.
2. Andrew Gelman, John Carlin, Hal Stern, David Dunson, Aki Vehtari e Donald Rubin. Analisi dei dati bayesiani, terza edizione. Chapman e Hall/CRC, 2013.