PCA probabilistico

Probabilistica analisi principale componenti (PCA) è una tecnica di riduzione dimensionalità che analizza i dati tramite uno spazio latente dimensionale inferiore ( ribaltamento e Bishop 1999 ). Viene spesso utilizzato quando mancano valori nei dati o per il ridimensionamento multidimensionale.

Importazioni

import functools
import warnings

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import seaborn as sns

import tensorflow.compat.v2 as tf
import tensorflow_probability as tfp

from tensorflow_probability import bijectors as tfb
from tensorflow_probability import distributions as tfd

tf.enable_v2_behavior()

plt.style.use("ggplot")
warnings.filterwarnings('ignore')

Il modello

Si consideri un insieme di dati $\mathbf{X} = \{\mathbf{x}_n\}$ di $N$ punti di dati, in cui ogni punto dati è $D$-dimensionale, $\ mathbf {x} _n \ in \ mathbb {R} ^ D\(. We aim to represent each \)\ mathbf {x} _N$ sotto una variabile latente $\mathbf{z}_n \in \mathbb{R}^K$ con dimensione inferiore, $K <D\(. The set of principal axes \)\ mathbf {W}$ riguarda le variabili latenti ai dati.

Nello specifico, assumiamo che ogni variabile latente sia distribuita normalmente,

$$\begin{equation*} \mathbf{z}_n \sim N(\mathbf{0}, \mathbf{I}). \end{equation*}$$

Il punto dati corrispondente viene generato tramite una proiezione,

$$\begin{equation*} \mathbf{x}_n \mid \mathbf{z}_n \sim N(\mathbf{W}\mathbf{z}_n, \sigma^2\mathbf{I}), \end{equation*}$$

dove la matrice $\mathbf{W}\in\mathbb{R}^{D\times K}$ sono noti come assi principali. In PCA probabilistico, stiamo tipicamente interessati a stimare gli assi principali $\mathbf{W}$ e il termine rumore$\sigma^2$.

La PCA probabilistica generalizza la PCA classica. Emarginando la variabile latente, la distribuzione di ciascun punto dati è

$$\begin{equation*} \mathbf{x}_n \sim N(\mathbf{0}, \mathbf{W}\mathbf{W}^\top + \sigma^2\mathbf{I}). \end{equation*}$$

PCA classica è il caso specifico di PCA probabilistica quando la covarianza del rumore diventa infinitamente piccolo, $\sigma^2 \to 0$.

Abbiamo impostato il nostro modello di seguito. Nella nostra analisi, assumiamo $\sigma$ è noto, invece di punto stimare $\mathbf{W}$ come parametro modello, poniamo una prima su di esso al fine di dedurre una distribuzione su assi principali. Ci esprimiamo il modello come una TFP JointDistribution, in particolare, useremo JointDistributionCoroutineAutoBatched .

def probabilistic_pca(data_dim, latent_dim, num_datapoints, stddv_datapoints):
  w = yield tfd.Normal(loc=tf.zeros([data_dim, latent_dim]),
                 scale=2.0 * tf.ones([data_dim, latent_dim]),
                 name="w")
  z = yield tfd.Normal(loc=tf.zeros([latent_dim, num_datapoints]),
                 scale=tf.ones([latent_dim, num_datapoints]),
                 name="z")
  x = yield tfd.Normal(loc=tf.matmul(w, z),
                       scale=stddv_datapoints,
                       name="x")

num_datapoints = 5000
data_dim = 2
latent_dim = 1
stddv_datapoints = 0.5

concrete_ppca_model = functools.partial(probabilistic_pca,
    data_dim=data_dim,
    latent_dim=latent_dim,
    num_datapoints=num_datapoints,
    stddv_datapoints=stddv_datapoints)

model = tfd.JointDistributionCoroutineAutoBatched(concrete_ppca_model)

I dati

Possiamo usare il modello per generare dati campionando dalla distribuzione precedente congiunta.

actual_w, actual_z, x_train = model.sample()

print("Principal axes:")
print(actual_w)

Principal axes:
tf.Tensor(
[[ 2.2801023]
 [-1.1619819]], shape=(2, 1), dtype=float32)

Visualizziamo il dataset.

plt.scatter(x_train[0, :], x_train[1, :], color='blue', alpha=0.1)
plt.axis([-20, 20, -20, 20])
plt.title("Data set")
plt.show()

Inferenza massima a posteriori

Per prima cosa cerchiamo la stima puntuale delle variabili latenti che massimizzi la densità di probabilità a posteriori. Questo è noto come massimo a posteriori (MAP) inferenza, e viene fatto calcolando i valori di $\mathbf{W}$ e $\mathbf{Z}$ che massimizzano la densità posteriori $p(\mathbf{W}, \mathbf{Z} \mid \mathbf{X}) \propto p(\mathbf{W}, \mathbf{Z}, \mathbf{X})$.

w = tf.Variable(tf.random.normal([data_dim, latent_dim]))
z = tf.Variable(tf.random.normal([latent_dim, num_datapoints]))

target_log_prob_fn = lambda w, z: model.log_prob((w, z, x_train))
losses = tfp.math.minimize(
    lambda: -target_log_prob_fn(w, z),
    optimizer=tf.optimizers.Adam(learning_rate=0.05),
    num_steps=200)

plt.plot(losses)

[<matplotlib.lines.Line2D at 0x7f19897a42e8>]

Possiamo utilizzare il modello di dati di esempio per i valori desunti per $\mathbf{W}$ e $\mathbf{Z}$, e confrontare il set di dati effettivo che condizionati su.

print("MAP-estimated axes:")
print(w)

_, _, x_generated = model.sample(value=(w, z, None))

plt.scatter(x_train[0, :], x_train[1, :], color='blue', alpha=0.1, label='Actual data')
plt.scatter(x_generated[0, :], x_generated[1, :], color='red', alpha=0.1, label='Simulated data (MAP)')
plt.legend()
plt.axis([-20, 20, -20, 20])
plt.show()

MAP-estimated axes:
<tf.Variable 'Variable:0' shape=(2, 1) dtype=float32, numpy=
array([[ 2.9135954],
       [-1.4826864]], dtype=float32)>

Inferenza variazionale

MAP può essere utilizzato per trovare la modalità (o una delle modalità) della distribuzione a posteriori, ma non fornisce altri approfondimenti al riguardo. Abbiamo poi usiamo inferenza variazionale, dove il posteriore distribtion $p(\mathbf{W}, \mathbf{Z} \mid \mathbf{X})$ viene approssimata con una distribuzione variazionale $q(\mathbf{W}, \mathbf{Z})$ parametrizzato per $\boldsymbol{\lambda}$. L'obiettivo è quello di trovare i parametri variazionali $\boldsymbol{\lambda}$ che minimizzano la divergenza KL tra q e posteriore, $\mathrm{KL}(q(\mathbf{W}, \mathbf{Z}) \mid\mid p(\mathbf{W}, \mathbf{Z} \mid \mathbf{X}))$, o equivalentemente, che massimizza l'evidenza limite inferiore, $\mathbb{E}_{q(\mathbf{W},\mathbf{Z};\boldsymbol{\lambda})}\left[ \log p(\mathbf{W},\mathbf{Z},\mathbf{X}) - \log q(\mathbf{W},\mathbf{Z}; \boldsymbol{\lambda}) \right]$.

qw_mean = tf.Variable(tf.random.normal([data_dim, latent_dim]))
qz_mean = tf.Variable(tf.random.normal([latent_dim, num_datapoints]))
qw_stddv = tfp.util.TransformedVariable(1e-4 * tf.ones([data_dim, latent_dim]),
                                        bijector=tfb.Softplus())
qz_stddv = tfp.util.TransformedVariable(
    1e-4 * tf.ones([latent_dim, num_datapoints]),
    bijector=tfb.Softplus())
def factored_normal_variational_model():
  qw = yield tfd.Normal(loc=qw_mean, scale=qw_stddv, name="qw")
  qz = yield tfd.Normal(loc=qz_mean, scale=qz_stddv, name="qz")

surrogate_posterior = tfd.JointDistributionCoroutineAutoBatched(
    factored_normal_variational_model)

losses = tfp.vi.fit_surrogate_posterior(
    target_log_prob_fn,
    surrogate_posterior=surrogate_posterior,
    optimizer=tf.optimizers.Adam(learning_rate=0.05),
    num_steps=200)

print("Inferred axes:")
print(qw_mean)
print("Standard Deviation:")
print(qw_stddv)

plt.plot(losses)
plt.show()

Inferred axes:
<tf.Variable 'Variable:0' shape=(2, 1) dtype=float32, numpy=
array([[ 2.4168603],
       [-1.2236133]], dtype=float32)>
Standard Deviation:
<TransformedVariable: dtype=float32, shape=[2, 1], fn="softplus", numpy=
array([[0.0042499 ],
       [0.00598824]], dtype=float32)>

posterior_samples = surrogate_posterior.sample(50)
_, _, x_generated = model.sample(value=(posterior_samples))

# It's a pain to plot all 5000 points for each of our 50 posterior samples, so
# let's subsample to get the gist of the distribution.
x_generated = tf.reshape(tf.transpose(x_generated, [1, 0, 2]), (2, -1))[:, ::47]

plt.scatter(x_train[0, :], x_train[1, :], color='blue', alpha=0.1, label='Actual data')
plt.scatter(x_generated[0, :], x_generated[1, :], color='red', alpha=0.1, label='Simulated data (VI)')
plt.legend()
plt.axis([-20, 20, -20, 20])
plt.show()

Ringraziamenti

Questo tutorial è stato originariamente scritto in Edward 1.0 ( fonte ). Ringraziamo tutti coloro che hanno contribuito alla stesura e alla revisione di tale versione.

Riferimenti

[1]: Michael E. Tipping e Christopher M. Bishop. Analisi probabilistica delle componenti principali. Ufficiale della Royal Statistical Society: Serie B (metodologia statistica), 61 (3): 611-622, 1999.