Ta strona została przetłumaczona przez Cloud Translation API.

Osiem szkół

Zobacz na TensorFlow.org

Uruchom w Google Colab

Wyświetl źródło na GitHub

Pobierz notatnik

Problem osiem szkół ( Rubin 1981 ) uważa, że skuteczność programów coachingowych SAT prowadzonych równolegle w ośmiu szkołach. Stało się klasyczny problem ( Bayesa Analiza danych , Stan ), który ilustruje przydatność modelowania hierarchicznego do wymiany informacji między grupami wymiennymi.

Poniższa implementacja jest adaptacją Edward 1,0 tutorialu .

Import

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import seaborn as sns

import tensorflow.compat.v2 as tf
import tensorflow_probability as tfp
from tensorflow_probability import distributions as tfd
import warnings

tf.enable_v2_behavior()

plt.style.use("ggplot")
warnings.filterwarnings('ignore')

Dane

Z Bayesowskiej analizy danych, rozdział 5.5 (Gelman et al. 2013):

Przeprowadzono badanie dla Educational Testing Service w celu przeanalizowania efektów specjalnych programów coachingowych dla SAT-V (Scholastic Aptitude Test-Verbal) w każdej z ośmiu szkół średnich. Zmienną wyniku w każdym badaniu był wynik specjalnego wykonania testu SAT-V, standaryzowanego testu wielokrotnego wyboru administrowanego przez Educational Testing Service i wykorzystywanego do pomocy uczelniom w podejmowaniu decyzji o przyjęciu; wyniki mogą wahać się od 200 do 800, ze średnią około 500 i odchyleniem standardowym około 100. Egzaminy SAT są zaprojektowane tak, aby były odporne na krótkoterminowe wysiłki ukierunkowane na poprawę wyników na teście; zamiast tego są zaprojektowane tak, aby odzwierciedlały zdobytą wiedzę i umiejętności wypracowane przez wiele lat edukacji. Niemniej jednak każda z ośmiu szkół w tym badaniu uznała, że jej krótkoterminowy program coachingowy jest bardzo skuteczny w zwiększaniu wyników SAT. Ponadto nie było wcześniej powodu, by sądzić, że którykolwiek z ośmiu programów był bardziej skuteczny niż jakikolwiek inny lub że niektóre z nich były bardziej do siebie podobne niż do innych.

Dla każdego z ośmiu szkół ( $J = 8$ ), mamy szacowany efekt leczenia $y_j$ i błąd standardowy efekt kosztorysowej $\sigma_j$ . Efekty leczenia w badaniu uzyskano przez regresję liniową w grupie leczonej przy użyciu wyników PSAT-M i PSAT-V jako zmiennych kontrolnych. Ponieważ nie było przed przekonanie, że każda ze szkół były mniej lub bardziej podobny albo że którykolwiek z programów coachingowych byłaby bardziej efektywna, możemy rozważyć skutki zabiegów jak wymienny .

num_schools = 8  # number of schools
treatment_effects = np.array(
    [28, 8, -3, 7, -1, 1, 18, 12], dtype=np.float32)  # treatment effects
treatment_stddevs = np.array(
    [15, 10, 16, 11, 9, 11, 10, 18], dtype=np.float32)  # treatment SE

fig, ax = plt.subplots()
plt.bar(range(num_schools), treatment_effects, yerr=treatment_stddevs)
plt.title("8 Schools treatment effects")
plt.xlabel("School")
plt.ylabel("Treatment effect")
fig.set_size_inches(10, 8)
plt.show()

png

Model

Do przechwytywania danych używamy hierarchicznego modelu normalnego. Podąża za procesem generatywnym,

\begin{aligned} μ & \sim Normal (loc = 0, scale = 10) \\ \log τ & \sim Normal (loc = 5, scale = 1) \\ for & i = 1 \dots 8 : \\ θ_{i} \sim Normal (loc = μ, scale = τ) \\ y_{i} \sim Normal (loc = θ_{i}, scale = σ_{i}) \end{aligned}

$\begin{align*} \mu &\sim \text{Normal}(\text{loc}{=}0,\ \text{scale}{=}10) \\ \log\tau &\sim \text{Normal}(\text{loc}{=}5,\ \text{scale}{=}1) \\ \text{for } & i=1\ldots 8:\\ & \theta_i \sim \text{Normal}\left(\text{loc}{=}\mu,\ \text{scale}{=}\tau \right) \\ & y_i \sim \text{Normal}\left(\text{loc}{=}\theta_i,\ \text{scale}{=}\sigma_i \right) \end{align*}$

gdzie $\mu$ reprezentuje wcześniejsze średnią skuteczność leczenia i $\tau$ kontrole ile istnieje rozbieżność między szkołami. $y_i$ i $\sigma_i$ są przestrzegane. Jako $\tau \rightarrow \infty$ model zbliża się do modelu no-pooling, czyli każda z szacunkami efekt leczenia szkole mogą być bardziej niezależne. Jako $\tau \rightarrow 0$ model zbliża się do modelu complete-poolingu, tj wszystkich efektów leczenia szkoły są bliżej do grupy średniej $\mu$ . W celu ograniczenia odchylenia standardowego jest pozytywny, zwracamy $\tau$ z rozkładu logarytmiczno-normalnego (co jest równoważne rysunku $log(\tau)$ z normalnym rozkładem).

W następstwie Diagnozowanie Stronnicze Wnioskowanie z rozbieżności , możemy przekształcić model powyższe pod równoważną non-centered modelu:

\begin{aligned} μ & \sim Normal (loc = 0, scale = 10) \\ \log τ & \sim Normal (loc = 5, scale = 1) \\ for & i = 1 \dots 8 : \\ θ_{i}^{'} \sim Normal (loc = 0, scale = 1) \\ θ_{i} = μ + τ θ_{i}^{'} \\ y_{i} \sim Normal (loc = θ_{i}, scale = σ_{i}) \end{aligned}

$\begin{align*} \mu &\sim \text{Normal}(\text{loc}{=}0,\ \text{scale}{=}10) \\ \log\tau &\sim \text{Normal}(\text{loc}{=}5,\ \text{scale}{=}1) \\ \text{for } & i=1\ldots 8:\\ & \theta_i' \sim \text{Normal}\left(\text{loc}{=}0,\ \text{scale}{=}1 \right) \\ & \theta_i = \mu + \tau \theta_i' \\ & y_i \sim \text{Normal}\left(\text{loc}{=}\theta_i,\ \text{scale}{=}\sigma_i \right) \end{align*}$

Mamy zreifikować ten model jako JointDistributionSequential przykład:

model = tfd.JointDistributionSequential([
  tfd.Normal(loc=0., scale=10., name="avg_effect"),  # `mu` above
  tfd.Normal(loc=5., scale=1., name="avg_stddev"),  # `log(tau)` above
  tfd.Independent(tfd.Normal(loc=tf.zeros(num_schools),
                             scale=tf.ones(num_schools),
                             name="school_effects_standard"),  # `theta_prime` 
                  reinterpreted_batch_ndims=1),
  lambda school_effects_standard, avg_stddev, avg_effect: (
      tfd.Independent(tfd.Normal(loc=(avg_effect[..., tf.newaxis] +
                                      tf.exp(avg_stddev[..., tf.newaxis]) *
                                      school_effects_standard),  # `theta` above
                                 scale=treatment_stddevs),
                      name="treatment_effects",  # `y` above
                      reinterpreted_batch_ndims=1))
])

def target_log_prob_fn(avg_effect, avg_stddev, school_effects_standard):
  """Unnormalized target density as a function of states."""
  return model.log_prob((
      avg_effect, avg_stddev, school_effects_standard, treatment_effects))

Wnioskowanie bayesowskie

Na podstawie danych wykonujemy hamiltonian Monte Carlo (HMC), aby obliczyć rozkład a posteriori nad parametrami modelu.

num_results = 5000
num_burnin_steps = 3000

# Improve performance by tracing the sampler using `tf.function`
# and compiling it using XLA.
@tf.function(autograph=False, jit_compile=True)
def do_sampling():
  return tfp.mcmc.sample_chain(
      num_results=num_results,
      num_burnin_steps=num_burnin_steps,
      current_state=[
          tf.zeros([], name='init_avg_effect'),
          tf.zeros([], name='init_avg_stddev'),
          tf.ones([num_schools], name='init_school_effects_standard'),
      ],
      kernel=tfp.mcmc.HamiltonianMonteCarlo(
          target_log_prob_fn=target_log_prob_fn,
          step_size=0.4,
          num_leapfrog_steps=3))

states, kernel_results = do_sampling()

avg_effect, avg_stddev, school_effects_standard = states

school_effects_samples = (
    avg_effect[:, np.newaxis] +
    np.exp(avg_stddev)[:, np.newaxis] * school_effects_standard)

num_accepted = np.sum(kernel_results.is_accepted)
print('Acceptance rate: {}'.format(num_accepted / num_results))

Acceptance rate: 0.5974

fig, axes = plt.subplots(8, 2, sharex='col', sharey='col')
fig.set_size_inches(12, 10)
for i in range(num_schools):
  axes[i][0].plot(school_effects_samples[:,i].numpy())
  axes[i][0].title.set_text("School {} treatment effect chain".format(i))
  sns.kdeplot(school_effects_samples[:,i].numpy(), ax=axes[i][1], shade=True)
  axes[i][1].title.set_text("School {} treatment effect distribution".format(i))
axes[num_schools - 1][0].set_xlabel("Iteration")
axes[num_schools - 1][1].set_xlabel("School effect")
fig.tight_layout()
plt.show()

png

print("E[avg_effect] = {}".format(np.mean(avg_effect)))
print("E[avg_stddev] = {}".format(np.mean(avg_stddev)))
print("E[school_effects_standard] =")
print(np.mean(school_effects_standard[:, ]))
print("E[school_effects] =")
print(np.mean(school_effects_samples[:, ], axis=0))

E[avg_effect] = 5.57183933258
E[avg_stddev] = 2.47738981247
E[school_effects_standard] =
0.08509017
E[school_effects] =
[15.0051     7.103311   2.4552586  6.2744603  1.3364682  3.1125953
 12.762501   7.743602 ]

# Compute the 95% interval for school_effects
school_effects_low = np.array([
    np.percentile(school_effects_samples[:, i], 2.5) for i in range(num_schools)
])
school_effects_med = np.array([
    np.percentile(school_effects_samples[:, i], 50) for i in range(num_schools)
])
school_effects_hi = np.array([
    np.percentile(school_effects_samples[:, i], 97.5)
    for i in range(num_schools)
])

fig, ax = plt.subplots(nrows=1, ncols=1, sharex=True)
ax.scatter(np.array(range(num_schools)), school_effects_med, color='red', s=60)
ax.scatter(
    np.array(range(num_schools)) + 0.1, treatment_effects, color='blue', s=60)

plt.plot([-0.2, 7.4], [np.mean(avg_effect),
                       np.mean(avg_effect)], 'k', linestyle='--')

ax.errorbar(
    np.array(range(8)),
    school_effects_med,
    yerr=[
        school_effects_med - school_effects_low,
        school_effects_hi - school_effects_med
    ],
    fmt='none')

ax.legend(('avg_effect', 'HMC', 'Observed effect'), fontsize=14)

plt.xlabel('School')
plt.ylabel('Treatment effect')
plt.title('HMC estimated school treatment effects vs. observed data')
fig.set_size_inches(10, 8)
plt.show()

png

Możemy zaobserwować skurcz w kierunku grupy avg_effect powyżej.

print("Inferred posterior mean: {0:.2f}".format(
    np.mean(school_effects_samples[:,])))
print("Inferred posterior mean se: {0:.2f}".format(
    np.std(school_effects_samples[:,])))

Inferred posterior mean: 6.97
Inferred posterior mean se: 10.41

Krytyka

Aby uzyskać tylną dystrybucję predykcyjną, czyli nowy model danych $y^*$ daną obserwowanych danych $y$ :

p (y^{*} | y) \propto \int_{θ} p (y^{*} | θ) p (θ | y) d θ

$p(y^*|y) \propto \int_\theta p(y^* | \theta)p(\theta |y)d\theta$

możemy zastąpić wartości zmiennych losowych w modelu, aby ustawić je na średnią rozkładu a posteriori, a próbki z tego modelu, aby wygenerować nowe dane $y^*$ .

sample_shape = [5000]

_, _, _, predictive_treatment_effects = model.sample(
    value=(tf.broadcast_to(np.mean(avg_effect, 0), sample_shape),
           tf.broadcast_to(np.mean(avg_stddev, 0), sample_shape),
           tf.broadcast_to(np.mean(school_effects_standard, 0),
                           sample_shape + [num_schools]),
           None))

fig, axes = plt.subplots(4, 2, sharex=True, sharey=True)
fig.set_size_inches(12, 10)
fig.tight_layout()
for i, ax in enumerate(axes):
  sns.kdeplot(predictive_treatment_effects[:, 2*i].numpy(),
              ax=ax[0], shade=True)
  ax[0].title.set_text(
      "School {} treatment effect posterior predictive".format(2*i))
  sns.kdeplot(predictive_treatment_effects[:, 2*i + 1].numpy(),
              ax=ax[1], shade=True)
  ax[1].title.set_text(
      "School {} treatment effect posterior predictive".format(2*i + 1))
plt.show()

png

# The mean predicted treatment effects for each of the eight schools.
prediction = np.mean(predictive_treatment_effects, axis=0)

Możemy spojrzeć na reszty między danymi dotyczącymi efektów leczenia a przewidywaniami modelu a posteriori. Odpowiadają one powyższemu wykresowi, który pokazuje kurczenie się szacowanych efektów w stosunku do średniej populacji.

treatment_effects - prediction

array([14.905351 ,  1.2838383, -5.6966295,  0.8327627, -2.3356671,
       -2.0363257,  5.997898 ,  4.3731265], dtype=float32)

Ponieważ mamy rozkład prognoz dla każdej szkoły, możemy również rozważyć rozkład reszt.

residuals = treatment_effects - predictive_treatment_effects

fig, axes = plt.subplots(4, 2, sharex=True, sharey=True)
fig.set_size_inches(12, 10)
fig.tight_layout()
for i, ax in enumerate(axes):
  sns.kdeplot(residuals[:, 2*i].numpy(), ax=ax[0], shade=True)
  ax[0].title.set_text(
      "School {} treatment effect residuals".format(2*i))
  sns.kdeplot(residuals[:, 2*i + 1].numpy(), ax=ax[1], shade=True)
  ax[1].title.set_text(
      "School {} treatment effect residuals".format(2*i + 1))
plt.show()

png

Podziękowanie

W Edward 1.0 (Ten poradnik został napisany źródłowego ). Dziękujemy wszystkim współtwórcom za napisanie i poprawienie tej wersji.

Bibliografia

Donalda B. Rubina. Estymacja w równoległych eksperymentach randomizowanych. Journal of Educational Statistics, 6(4):377-401, 1981.
Andrew Gelman, John Carlin, Hal Stern, David Dunson, Aki Vehtari i Donald Rubin. Bayesowska analiza danych, wydanie trzecie. Chapman i Hall/CRC, 2013.